Όχι ασυναρτησίες

KARKAR · #1

: Όχι ασυναρτησίες.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές

Στην διάμετρο AB=d

, ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο

, ώστε : $\dfrac{AS}{SB}=\lambda$ και στο

τόξο δύο σημεία T , P

, τέτοια ώστε : $PT \perp TS$ . Βρείτε την θέση του

για την οποία

ελαχιστοποιείται η γωνία $\theta$ και βρείτε την τότε $\tan\theta$ . Εφαρμογή για : $\lambda=5$ .

add2math · #2

Η προέκταση του

τέμνει τον κύκλο (O,r)

στο συμμετρικό του σημείου

ως προς το κέντρο του κύκλου, στο σημείο

.
Από την δύναμη σημείου

έχουμε $AS⋅SB=TS⋅SP{'}=SP⋅sin \theta⋅SP'⇔\sin \theta=(AS⋅SB)/(SP'⋅SP)$ που ελαχιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το γινόμενο

.
Έχουμε από νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα POS

και

ότι
$SP^2=OS^2+r^2-2r⋅OS \cos(P\hat OS)$ και
$SP'^2=OS^2+r^2-2r⋅OS \cos(180°-P\hat OS)=OS^2+r^2+2r⋅OS \cos(P\hat O S)$ .
Οπότε $SP'^2⋅SP^2=( OS^2+r^2 )^2-4r^2⋅ OS^2 cos^2 (P\hat O S)$ που μεγιστοποιείται όταν $P\hat O S=90^o$ , δηλαδή όταν το σημείο

είναι στον βόρειο πόλο του κύκλου.

Στην θέση αυτή έχουμε
$\sin \theta = \frac{AS \cdot SB}{SP' \cdot SP} = \frac{AS \cdot SB}{OS^{2} + r^{2}} = \frac{\frac{d\lambda}{(\lambda + 1)} \cdot \frac{d}{(\lambda + 1)}}{\left( \frac{d\lambda}{(\lambda + 1)} - \frac{d}{2} \right)^{2} + \frac{d^{2}}{4}}=\frac{2\lambda}{1 + \lambda^{2}} \Rightarrow$
$\cos\theta = \frac{\lambda^{2} - 1}{1 + \lambda^{2}},\boxed{\tan\theta = \frac{2\lambda}{\lambda^{2} - 1}}$ .

Για $\lambda=5$ , έχουμε $\tan \theta=5/12$

Όχι ασυναρτησίες

Όχι ασυναρτησίες

Re: Όχι ασυναρτησίες

Μέλη σε σύνδεση