Τοπικό θέμα

KARKAR · #1

: Τοπικό θέμα.png (23 KiB) Προβλήθηκε 279 φορές

Το σημείο

κινείται στον δεξιό κλάδο της υπερβολής $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ . Από την εστία

φέρω τμήμα

E'T

, κάθετο προς την διχοτόμο της γωνίας $\widehat{E'SE}$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 27, 2025 6:27 pm
Τοπικό θέμα.pngΤο σημείο κινείται στον δεξιό κλάδο της υπερβολής $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ . Από την εστία φέρω τμήμα

, κάθετο προς την διχοτόμο της γωνίας $\widehat{E'SE}$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου .

.
Χωρίς τις πράξεις δεδομένου ότι είναι πολλές αλλά η άσκηση είναι ρουτίνα χωρίς καθόλου φαντασία.

Η εν λόγω διχοτόμος είναι η εφαπτομένη στην υπερβολή, της οποίας η εστίες (από έτοιμους τύπους) είναι οι $(\pm 5,0)$ . Αν S(a,b)

τυπικό σημείο της υπερβολής, δηλαδή $\dfrac{a^2}{9}-\dfrac{b^2}{16}=1 \, (*)$ , τότε η εφαπτομένη είναι η $\boxed {\dfrac{ax}{9}-\dfrac{by}{16}=1}$ .

Έπεται ότι η κλίση της της κάθετης E'T

είναι $-\dfrac {9b}{16a}$ , οπότε η εξίσωσή της είναι $\boxed {y= -\dfrac {9b}{16a}(x+5)}$ .

Λύνοντας το σύστημα των δύο (βολεύει ως προς a,b

αντί

) βρίσκουμε ότι οι συντεταγμένες T(x,y)

ικανοποιούν

$a= \dfrac {9(x+5)}{x^2+y^2+5x}, \, b= - \dfrac {16y}{x^2+y^2+5x}$

Θέτοντας αυτά τα a,b

στην

βρίσκουμε την εξίσωση του τόπου του

, συγκεκριμένα

$\boxed { 9(x+5)^2-16y^2=(x^2+y^2+5x)^2}$

Eλπίζω να μην έχω κάνει λάθος τις πράξεις, η πλητρολόγηση των οποίων είναι επίπονη. Όπως και να είναι, τα βήματα είναι σωστά.

KARKAR · #3

: Τοπικό θέμα.png (41.31 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

. Από τον ορισμό της παραβολής , είναι : EZ=SZ-SE

. Συνεπώς : OT=3

, άρα το σημείο

κινείται στον κύκλο : x^2+y^2=9

.

Απομένει η διερεύνηση ...

#4

Πολλή ωραία η γεωμετρική λύση.

Ας προσθέσω ότι αυτά που γράφω είναι σωστά
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 27, 2025 7:34 pm
$\boxed { 9(x+5)^2-16y^2=(x^2+y^2+5x)^2}$

.
απλά μπορεί να απολοποιηθεί περαιτέρω η τελευταία παράσταση. Συγκεκριμένα, επειδή

9(x+5)^2-16y^2-(x^2+y^2+5x)^2=-(x^2+y^2+10x+25)(x^2+y^2-9)

ο τόπος γίνεται (x^2+y^2+10x+25)(x^2+y^2-9)=0

. Παρατηρούμε όμως ότι ο ένας παράγοντας είναι

x^2+y^2+10x+25= (x+5)^2+y^2>0

. Έπεται με απλοποίηση ότι

$\boxed {x^2+y^2-9=0}$ , που είναι ο τόπος στην μορφή που τον έγραψες.

Τοπικό θέμα

Τοπικό θέμα

Re: Τοπικό θέμα

Re: Τοπικό θέμα

Re: Τοπικό θέμα

Μέλη σε σύνδεση