Νέος κύκλος

KARKAR · #1

: Νέος κύκλος.png (24.93 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές

Σημείο

κινείται στον γαλάζιο κύκλο . Για το σημείο

του πρώτου τεταρτημορίου , το τρίγωνο OSP

,

είναι ορθογώνιο στο

και έχει εμβαδόν : E=12

. Βρείτε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 10, 2025 5:39 am
Νέος κύκλος.pngΣημείο κινείται στον γαλάζιο κύκλο . Για το σημείο του πρώτου τεταρτημορίου , το τρίγωνο ,

είναι ορθογώνιο στο και έχει εμβαδόν : . Βρείτε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του .

Έστω

Από την καθετότητα είναι $\boxed{ax+by=0}$ και από το εμβαδόν $\boxed{(a^2+b^2)(x^2+y^2)=576}$

: Νέος κύκλος.Κ.png (19.33 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές

Αλλά, $\displaystyle ({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2}) = {(ax + by)^2} + {(ay - bx)^2} \Leftrightarrow |ay - bx| = 24$

Από την διάταξη όμως των σημείων είναι ay<0, bx>0,

άρα

κι επειδή

και

$a^2+b^2=\dfrac{576}{x^2+y^2},$ παίρνω $\boxed{b = \frac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}},a = - \frac{{24y}}{{{x^2} + {y^2}}}}$ Από τον δοσμένο τώρα κύκλο έχω:

$\displaystyle {a^2} + {b^2} + 6a - 10b + 30 = 0 \Leftrightarrow \frac{{576}}{{{x^2} + {y^2}}} - \frac{{6 \cdot 24y}}{{{x^2} + {y^2}}} - \frac{{6 \cdot 40x}}{{{x^2} + {y^2}}} + 30 = 0,$ απ' όπου μετά

τις πράξεις καταλήγω στην εξίσωση του γεωμετρικού τόπου $\boxed{ {(x - 4)^2} + {\left( {y - \frac{{12}}{5}} \right)^2} = {\left( {\frac{8}{5}} \right)^2}}$ που

είναι κύκλος με κέντρο $\displaystyle K\left( {4,\frac{{12}}{5}} \right)$ και ακτίνα $\displaystyle r = \frac{8}{5}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 10, 2025 5:39 am
Νέος κύκλος.pngΣημείο κινείται στον γαλάζιο κύκλο . Για το σημείο του πρώτου τεταρτημορίου , το τρίγωνο ,

είναι ορθογώνιο στο και έχει εμβαδόν : . Βρείτε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του .

Θεωρώ την

και βρίσκω:

$OS = \sqrt {{{\left( {\sqrt {34} } \right)}^2} - {2^2}} = \sqrt {30} \,\,,\,\,OP = \dfrac{{4\sqrt {30} }}{5}\,\,\,$ κι επειδή , $\dfrac{2}{x} = \dfrac{{\sqrt {30} }}{{\dfrac{{4\sqrt {30} }}{5}}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{8}{5}}$

: Νέος Κύκλος_κατασκευή.png (28.8 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές

Από την άλλη μεριά, $\dfrac{{KS}}{{PL}} = \dfrac{{OK}}{{OL}} \Rightarrow \dfrac{5}{4} = \dfrac{{\sqrt {34} }}{{OL}} \Rightarrow OL = \dfrac{4}{5}\sqrt {34}$ και αφού ο σ. διεύθυνσης της

είναι $\dfrac{3}{5}$ ,

από το σύστημα : $y = \dfrac{{3x}}{5}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{x^2} + {y^2} = \dfrac{{16 \cdot 34}}{{25}}$ έχω $\boxed{L\left( {4,\dfrac{{12}}{5}} \right)}$ συνεπώς το

ανήκει στο κύκλο με εξίσωση :

$\boxed{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - \dfrac{{12}}{5}} \right)}^2} = \dfrac{{64}}{{25}}}$ .

Βεβαίως για να «δέσει» το θέμα θα πρέπει να δείξω ότι για κάθε θέση του

ο κύκλος δεν αλλάζει.

Με δεδομένους τους κύκλους $\left( {K,2} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {L,\dfrac{8}{5}} \right)$ αρκεί να βρω την ομοιοθεσία τους .

Βεβαίως ο λόγος της ομοιοθεσίας προκύπτει από το λόγο των ακτίνων . Όμως πρέπει να τεκμηριωθεί .

Βρίσκω το εξωτερικό κέντρων ομοιοθεσίας , έστω

. Φέρνω γι αυτό δύο τυχαίες παράλληλες ακτίνες ( π.χ. $KQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LZ$ )

: Νέος Κύκλος_κατασκευ_ok.png (45.61 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές

Η ευθεία της διακέντρου τέμνει την

στο $J\left( {32, - 8} \right)$ κι έτσι εύκολα έχω ότι $LJ = \dfrac{4}{5}\sqrt {1394} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KJ = \sqrt {1394}$ .

Συνεπώς ο λόγος ομοιοθεσίας ( μικρού προς μεγάλο ) είναι πάντα : $\boxed{\frac{{LJ}}{{KJ}} = \frac{4}{5}}$ , δηλαδή αυτό που θέλω.

Να σημειώσω ότι η άσκηση μπορεί να λυθεί με αντιστροφή .

Αν αντιστρέψω τον γαλάζιο κύκλο με πόλο το J(32, - 8)

και δύναμη αντιστροφής , ${\lambda ^2} = 1112$

( Δηλαδή ο κύκλος αντιστροφής έχει ακτίνα $R = \sqrt {1112}$ )

Θα δώσει πάλι αναγκαστικά κύκλο και θα έχω τον γ. τ.

Βεβαίως και μόνο το λογισμικό μας δίδει τους γ τόπους σαν σχήμα αλλά και την εξίσωση αρκεί να είναι κωνική τομή .

Το λογισμικό δουλεύει με οριακά πολλά σημεία που συνήθως το πλήθος τους επιλέγεται από το χρήστη

: Νέος Κύκλος_κατασκευή με αντιστροφή.png (49.67 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές

Νέος κύκλος

Νέος κύκλος

Re: Νέος κύκλος

Re: Νέος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση