Η τρίτη ισότητα

KARKAR · #1

: Η τρίτη ισότητα.png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Στο σχήμα είναι : $OA=OB=a , BO \perp OA$ . Στην προέκταση της

θεωρούμε σημείο

και εν συνεχεία σημείο

, "νότια" του

, τέτοια ώστε : $SO=SP=x , PS \perp SO$ .

Φέρουμε : $AT \perp BP$ . Υπολογίστε το

συναρτήσει του

, έτσι ώστε : ST=AT

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 17, 2024 9:36 am
Η τρίτη ισότητα.pngΣτο σχήμα είναι : $OA=OB=a , BO \perp OA$ . Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο

και εν συνεχεία σημείο , "νότια" του , τέτοια ώστε : $SO=SP=x , PS \perp SO$ .

Φέρουμε : $AT \perp BP$ . Υπολογίστε το συναρτήσει του , έτσι ώστε :

: Η τρίτη ισότητα.Κ.png (14 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 17, 2024 9:36 am
Η τρίτη ισότητα.pngΣτο σχήμα είναι : $OA=OB=a , BO \perp OA$ . Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο

και εν συνεχεία σημείο , "νότια" του , τέτοια ώστε : $SO=SP=x , PS \perp SO$ .

Φέρουμε : $AT \perp BP$ . Υπολογίστε το συναρτήσει του , έτσι ώστε :

Τα τετράπλευρα TBAO,STPA

είναι εγράψιμα και $\hat{TAS}=\hat{TBO}=\hat{TSP}=\hat{TAO}=\phi$

Το τρίγωνο PAB

είναι ισοσκελές με PB=PA

, και το $AI\Theta$ ισόπλευρο .

$O\Theta //SP\Rightarrow O\Theta =\dfrac{ax}{a+x}=OI,\hat{\phi }=30^{0},A\Theta =\dfrac{2ax}{a+x},$

Στο τρίγωνο $O\Theta A,$ Από το Π.Θ. $2x^{2}-2ax-a^{2}=0\Rightarrow x=a.\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 17, 2024 9:36 am
Η τρίτη ισότητα.pngΣτο σχήμα είναι : $OA=OB=a , BO \perp OA$ . Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο

και εν συνεχεία σημείο , "νότια" του , τέτοια ώστε : $SO=SP=x , PS \perp SO$ .

Φέρουμε : $AT \perp BP$ . Υπολογίστε το συναρτήσει του , έτσι ώστε :

: Η τρίτη ισότητα.png (44.33 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

Για την κατασκευή απαιτείται το τετράπλευρο TSPA

να είναι κανονικό ημιεξάγωνο , άρα $\widehat {TAS} = 30^\circ$

STOPJOHN · #5

STOPJOHN έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 17, 2024 7:20 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 17, 2024 9:36 am
Η τρίτη ισότητα.pngΣτο σχήμα είναι : $OA=OB=a , BO \perp OA$ . Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο

και εν συνεχεία σημείο , "νότια" του , τέτοια ώστε : $SO=SP=x , PS \perp SO$ .

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 17, 2024 9:36 am
Η τρίτη ισότητα.pngΣτο σχήμα είναι : $OA=OB=a , BO \perp OA$ . Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο

και εν συνεχεία σημείο , "νότια" του , τέτοια ώστε : $SO=SP=x , PS \perp SO$ .

Φέρουμε : $AT \perp BP$ . Υπολογίστε το συναρτήσει του , έτσι ώστε :

Προφανώς το STAP

είναι εγγράψιμο και από τις ίσες κόκκινες γωνίες προκύπτει ότι η

είναι

διχοτόμος του τριγώνου PSA,

άρα $\boxed{\frac{{SK}}{{KA}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{(x + a)}^2}} }}}$ (1)

: Η τρίτη ισότητα.Κβ..png (16.1 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

$\displaystyle SP||BO \Leftrightarrow \frac{x}{a} = \frac{{SK}}{{KO}} \Leftrightarrow \frac{x}{{x + a}} = \frac{{SK}}{x} \Leftrightarrow SK = \frac{{{x^2}}}{{x + a}}$ και $\displaystyle KA = \frac{{{a^2} + 2ax}}{{x + a}}$

Αντικαθιστώντας στην (1)

έχω:

$\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2} + 2ax}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{(x + a)}^2}} }} \Leftrightarrow 2{x^4} + 2a{x^3} - 3{a^2}{x^2} - 4{a^3}x - {a^4} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x = at}$

$\displaystyle 2{t^4} + 2{t^3} - 3{t^2} - 4t - 1 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{Horner} {(t + 1)^2}(2{t^2} - 2t - 1) = 0,$ απ' όπου παίρνω

τη δεκτή ρίζα $t=\dfrac{\sqrt 3+1}{2},$ δηλαδή $\boxed{x = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}$

Η τρίτη ισότητα

Η τρίτη ισότητα

Re: Η τρίτη ισότητα

Re: Η τρίτη ισότητα

Re: Η τρίτη ισότητα

Re: Η τρίτη ισότητα

Re: Η τρίτη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση