Ορθογώνια περιβολή

KARKAR · #1

: Ορθογώνια περιβολή.png (21.21 KiB) Προβλήθηκε 1039 φορές

Με κέντρα τα άκρα του τμήματος OK=4

, γράψαμε τους κύκλους (O , 2)

και

. Κατασκευάσαμε

ορθογώνιο PQST

, το οποίο "περιβάλλει" τους δύο κύκλους , δηλαδή ο καθένας εφάπτεται δύο διαδοχικών

πλευρών του ορθογωνίου . Ζητείται να κατασκευασθούν τα μεγίστου και ελαχίστου εμβαδού τέτοια ορθογώνια .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω

το ίχνος της καθέτου από το

στην

και $\varphi=\angle HOK$
Μπορούμε για το υπό εξέτασιν πρόβλημα να θεωρήσουμε ότι
${\color{red}\dfrac{1}{4}<}\varphi_1\le\varphi\le\varphi_2{\color{red}<\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{4}}$

όπου $\varphi_1=\arcsin\dfrac{1}{4}$ και $\varphi_2=\arccos\dfrac{1}{4}$

Παρατηρούμε ότι
$PT=2+4\cos \varphi+1$ , $PQ=2+4\sin \varphi+1$

Οπότε το εμβαδό του ορθογωνίου είναι $E=PT\cdot PQ=...=8x^2+12x+1$
όπου $x=\sin\varphi+\cos\varphi=\sqrt{2}\sin(\varphi+\dfrac{\pi}{4}) >0$

Το

είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση του θετικού

(το τριώνυμο έχει ομόσημες αρνητικές ρίζες)
Το

είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση του $\varphi$ στο $[\varphi_1,\dfrac{\pi}{4}]$
Το

είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του $\varphi$ στο $[ \dfrac{\pi}{4} , \varphi_2]$

Οπότε το

γίνεται μέγιστο για $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$ και ελάχιστο για $\varphi=\varphi_1,\varphi_2$ $\blacksquare$

Σημείωση
Οι θέσεις του PQST

στις τιμές $\varphi=\varphi_1,\varphi_2$ είναι συμμετρικές ως προς τη διάκεντρο

οπότε αυτές οι τιμές δίνουν ίδιο εμβαδόν (ενώ αντίστοιχα οι

,

θα είναι κοινές εφαπτομένες των δυο κύκλων)
Αν θέλει κανείς να το δει αλγεβρικά, αρκεί να παρατηρήσει ότι οι $\varphi_1,\varphi_2$ είναι συμπληρωματικές

#3

Ας είναι x, y οι προβολές της διακέντρου στις πλευρές του ορθογωνίου.

Είναι x^2+y^2=4^2

και οι πλευρές του ορθογωνίου είναι x+3,y+3

Τότε, η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος x+y

είναι (γνωστά συμπεράσματα) 4 και η μέγιστη 4 επί ρίζα 2.

Ζητάμε τα ακρότατα της παράστασης

(x+3)(y+3)=xy+3(x+y)+9=(x+y)^2/2-8+3(x+y)+9

Έχουμε κατά τα ανωτέρω και την μελετη του αντίστοιχου, ως προς x+y τριωνύμου, κ.λπ. ελάχιστο το 21 για x+y=4

και μέγιστο 17 +12 επί ρίζα 2.

KARKAR · #4

: Το ελάχιστο.png (19.39 KiB) Προβλήθηκε 929 φορές

Συμβολή στη μελέτη ....

S.E.Louridas · #5

Απλά στο γενικότερο σχήμα που παραθέτω, παρακολουθώντας τα βήματα κατασκευής του σχήματος του Θανάση,

το κόκκινο τετράγωνο δεν έχει το μέγιστο Εμβαδό;

(*) Μου ξεφεύγει κάτι;

: asdf.png (32.07 KiB) Προβλήθηκε 889 φορές

KARKAR · #6

: Μέγιστο περιβολής.png (21.37 KiB) Προβλήθηκε 881 φορές

Το σχήμα κατά την μεγιστοποίηση .

S.E.Louridas · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 22, 2024 9:32 am
Με κέντρα τα άκρα του τμήματος , γράψαμε τους κύκλους και . Κατασκευάσαμε ορθογώνιο , το οποίο "περιβάλλει" τους δύο κύκλους , δηλαδή ο καθένας εφάπτεται δύο διαδοχικών
πλευρών του ορθογωνίου . Ζητείται να κατασκευασθούν τα μεγίστου και ελαχίστου εμβαδού τέτοια ορθογώνια .

Άρα καλά το σκέφτηκα και μάλιστα "απεγκλωβίζοντας" από τα νούμερα.

Κατασκευαστικός προσδιορισμός: Για το μέγιστο θεωρούμε την διαγώνιο

που είναι καθαρό ότι περνά από το σταθερό σημείο

αφού εύκολα προκύπτει $\displaystyle{\frac{{LP}}{{LS}} = \frac{R_1}{r_1}=\frac{R}{r}.}$

Εδώ θεωρούμε τους κύκλους $\displaystyle{(O, R_1),\; (O,r_1)}$ και είναι καθαρό πλέον ότι ζητάμε το Μέγιστο του ευθύγραμμου τμήματος PS,

που είναι το MN.

Εδώ σχηματίζουμε το τετράγωνο AMFN

(το κόκκινο) που είναι και το ζητούμενο.

Λάβαμε υπόψη, ότι όταν έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο σταθερής υποτείνουσας το μέγιστο εμβαδό επιτυγχάνεται όταν

αυτό καταστεί και ισοσκελές.

: asdf.png (34.28 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

KARKAR · #8

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 24, 2024 10:02 am
Λάβαμε υπόψη, ότι όταν έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο σταθερής υποτείνουσας το μέγιστο εμβαδό

επιτυγχάνεται όταν αυτό καταστεί και ισοσκελές.

Αυτό λέει ουσιαστικά ο Ιάσων με την ανάρτησή του αυτή .

S.E.Louridas · #9

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 24, 2024 10:46 am

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 24, 2024 10:02 am
(*) Λάβαμε υπόψη, ότι όταν έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο σταθερής υποτείνουσας το μέγιστο εμβαδό

επιτυγχάνεται όταν αυτό καταστεί και ισοσκελές.

Αυτό λέει ουσιαστικά ο Ιάσων με την ανάρτησή του αυτή .

Το (*) είναι κλασσική θεωρία . Όπως και η γνωστή Γεωμετρική θεωρία - μεθοδολογία κάτω από τον τίτλο:
Περιβάλλουσες. Μάλιστα Θανάση πιστεύω ότι εσύ στηρίχτηκες στην θεωρία αυτή για την κατασκευή του θέματος αυτού ....
Προφανώς Αξίζουν Πολλά Πολλά και Ειλικρινή εύσημα στον Ιάσονα, που είναι Μαθηματικό Όν υψηλών αποδόσεων,
όπως εξάλλου έχουμε διαπιστώσει..

Ορθογώνια περιβολή

Ορθογώνια περιβολή

Re: Ορθογώνια περιβολή

Re: Ορθογώνια περιβολή

Re: Ορθογώνια περιβολή

Re: Ορθογώνια περιβολή

Re: Ορθογώνια περιβολή

Re: Ορθογώνια περιβολή

Re: Ορθογώνια περιβολή

Re: Ορθογώνια περιβολή

Μέλη σε σύνδεση