Τριπλάσιο

KARKAR · #1

: Τριπλάσιο.png (9.16 KiB) Προβλήθηκε 880 φορές

Ο κύκλος

τέμνει τον ημιάξονα

στο σημείο

και τον ημιάξονα

στο σημείο

.

Η εφαπτομένη του κύκλου στο

, τέμνει τον

στο

. Αν :

, υπολογίστε το

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 10, 2023 8:19 pm
Τριπλάσιο.pngΟ κύκλος τέμνει τον ημιάξονα στο σημείο και τον ημιάξονα στο σημείο .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο , τέμνει τον στο . Αν : , υπολογίστε το .

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο , $\left( {K,5} \right)$ έχω:

$T{S^2} = SP\left( {SP + 10} \right) \Rightarrow 9S{P^2} = SP\left( {SP + 10} \right)$ και άρα $SP = \dfrac{5}{4}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS = \dfrac{{15}}{4}$ .

: τριπλάσιο_Ευκλείδεια.png (17.17 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές

Επειδή η

διχοτόμος στο $\vartriangle TOS$ αν θέσω $OP = x\, > 0$ , θα είναι OT = 3x

κι επειδή , $O{T^2} = OK \cdot OS \Rightarrow 9{x^2} = \left( {5 - x} \right)\left( {\dfrac{5}{4} + x} \right)$ , έχω : $x = 1\,$ , είτε $x = - \dfrac{5}{8}$ απορρίπτεται .

Για , $x = 1 \Rightarrow 5 - x = 4$ άρα $\displaystyle OK = 4 \Rightarrow \boxed{K\left( { - 4,0} \right)}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 10, 2023 8:19 pm
Τριπλάσιο.pngΟ κύκλος τέμνει τον ημιάξονα στο σημείο και τον ημιάξονα στο σημείο .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο , τέμνει τον στο . Αν : , υπολογίστε το .

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο , $\left( {K,5} \right)$ έχω:

$T{S^2} = SP\left( {SP + 10} \right) \Rightarrow 9S{P^2} = SP\left( {SP + 10} \right)$ και άρα $SP = \dfrac{5}{4}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS = \dfrac{{15}}{4}$ .

: τριπλάσιο_Ευκλείδεια_2.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 839 φορές

Επειδή η τετράδα $\left( {O,S\backslash A,P} \right)$ είναι αρμονική , αν OP = x > 0

, ισχύει: $\dfrac{{PO}}{{PS}} = \dfrac{{AO}}{{AS}}$

Δηλαδή, $\dfrac{x}{{\dfrac{5}{4}}} = \dfrac{{10 - x}}{{10 + \dfrac{5}{4}}} \Rightarrow x = 1 \Rightarrow \boxed{K\left( { - 4,0} \right)}$

orestisgotsis · #4

Περιττό

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Πριν γράψω οτιδήποτε να ξεκαθαρίσω ότι η παρακάτω λύση στερείται πρωτοτυπίας...
Είναι η λύση που θα έγραφε ένας υποψήφιος της 1ης Δέσμης ο οποίος θα έμενε προσκολλημένος στην ύλη της Αναλυτικής Γεωμετρίας, διστάζοντας να χρησιμοποιήσει γνώσεις Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Υπήρχαν πολλοί τέτοιοι υποψήφιοι...

O κύκλος $\left ( K,5 \right )$ έχει εξίσωση $\left ( x-k \right )^{2}+y^{2}=25.$

Για y=0

έχω ότι $\left ( x-k \right )^{2}=25\Leftrightarrow x-k=5\Leftrightarrow x=k+5.$

Άρα $P\left ( 5+k,0 \right )$

Για x=0

έχω ότι $k^{2}+y^{2}=25\Leftrightarrow y^{2}=25-k^{2}$

και αφού y>0

ισχύει ότι $y=\sqrt{25-k^{2}}$ .

Άρα $T\left ( 0,\sqrt{25-k^{2}} \right ).$ Φυσικά -5< k< 5.

H εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο

έχει εξίσωση

$\left ( x-k \right )\left ( 0-k \right )+y\left ( \sqrt{25-k^{2}}-0 \right )=25\Leftrightarrow -kx+k^{2}+\sqrt{25-k^{2}}\cdot y=25$

Aν στην εξίσωση αυτή θέσουμε y=0

βρίσκουμε ότι $\displaystyle x=\frac{k^{2}-25}{k}$ όπου $k\neq 0.$

Έτσι $\displaystyle S\left ( \frac{k^{2}-25}{k},0\right )$

$\displaystyle ST=3SP\Leftrightarrow ST^{2}=9SP^{2}\Leftrightarrow \left ( \frac{k^{2}-25}{k} -0\right )^{2}+\left ( 0-\sqrt{25-k^{2}} \right )^{2}=9\left ( \frac{k^{2}-25}{k}-5-k \right )^{2}$

η οποία ισοδυναμεί με την $k^{2}+9k+20=0.$

Oι ρίζες της τελευταίας εξίσωσης είναι k=-4

και

Η τιμή

δεν γίνεται δεκτή γιατί υπάρχει ο περιορισμός -5< k< 5.

Η τιμή

γίνεται δεκτή, δεν αντίκειται στους περιορισμούς που ετέθησαν.

'Αρα k=-4.

Τριπλάσιο

Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση