Ανισότητες σε κύκλο

KARKAR · #1

Για κάθε σημείο S(x, y )

του κύκλου με εξίσωση : (x-6)^2+(y+2)^2=90

,

δείξτε ότι : $x^2+y^2\geq 10$ και $y\leq 3x+10$

fogsteel · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 21, 2023 11:21 am
Για κάθε σημείο του κύκλου με εξίσωση : ,

δείξτε ότι : $x^2+y^2\geq 10$ και $y\leq 3x+10$

Αν

η αρχή των αξόνων και A(6 , -2)

το κέντρο του παραπάνω κύκλου με ακτίνα $R = 3\sqrt{10}$ , τότε :

$\sqrt{x^2 + y^2} \geq R - OA = 3\sqrt{10} - 2\sqrt{10}= \sqrt{10} \Leftrightarrow x^2 + y^2 \geq 10$

Κάνοντας το ανάπτυγμα στην εξίσωση του παραπάνω κύκλου προκύπτει πως
$x^2 + y^2 + 4(y - 3x) = 50 \geq 10 + 4(y - 3x) \Rightarrow y - 3x \leq 40/4 = 10$ , που είναι το ζητούμενο

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 21, 2023 11:21 am
Για κάθε σημείο του κύκλου με εξίσωση : ,

δείξτε ότι : $x^2+y^2\geq 10$ και $y\leq 3x+10$

Θέτω $\displaystyle x - 6 = 3\sqrt {10} \cos t,y + 2 = 3\sqrt {10} \sin t,t \in [0,2\pi )$

$\displaystyle {x^2} + {y^2} = f(t) = {\left( {6 + 3\sqrt {10} \cos t} \right)^2} + {\left( {3\sqrt {10} \sin t - 2} \right)^2}.$

$\displaystyle f'(t) = - 12\sqrt 3 (3\sin t + \cos t) = 0 \Leftrightarrow \tan t = - \frac{1}{3}.$ Άρα η

παρουσιάζει

ελάχιστο $\boxed{{f_{\min }} = 10}$ όταν $\boxed{\tan t = - \frac{1}{3}}$ δηλαδή, $\boxed{x^2+y^2\ge 10}$

Ομοίως και για το δεύτερο ερώτημα $\displaystyle y - 3x = 3\sqrt {10} \sin t - 9\sqrt {10} \cos t - 20 \leqslant 10,$ για $\displaystyle \tan t = - \frac{1}{3}$

#4

Kαλησπέρα σε όλους.

: 21-01-2023 Γεωμετρία.png (22.91 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

Έστω

.

Για τους κύκλους $\displaystyle {C_1}:\left( {K,3\;\sqrt {10} } \right),\;{C_2}:\;\left( {O,\;\sqrt {10} } \right)$ είναι $\displaystyle KO = \;{\rho _1} - \;{\rho _2}$

Εφάπτονται εσωτερικά στο $\displaystyle {\rm A}\left( { - 3,1} \right)$ , άρα κάθε σημείο του C_1

είναι εξωτερικό του C_2

, εκτός του

.

Η κοινή τους εφαπτομένη έχει εξίσωση (e): y=3x+10

, οπότε κάθε σημείο

του

είναι στο ημιεπίπεδο που ορίζουν οι (e)

και το

, εκτός του

, οπότε για τις συντεταγμένες του

ισχύει $y \le 3x + 10$ .

Ανισότητες σε κύκλο

Ανισότητες σε κύκλο

Re: Ανισότητες σε κύκλο

Re: Ανισότητες σε κύκλο

Re: Ανισότητες σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση