Ημιελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

: Ημιμεγιστοποίηση.png (7.4 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

Στην προέκταση της σταθερής διαμέτρου AB=2

, ενός ημικυκλίου κινείται σημείο

.

Σχεδιάζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο , το ημικύκλιο διαμέτρου

και έστω

το μέσο του .

Η εφαπτομένη από το

προς το σταθερό ημικύκλιο τέμνει την προέκταση της

στο

.

Για ποια θέση του σημείου

, ελαχιστοποιείται το τμήμα

; Χρήση λογισμικού επιτρεπτή .

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 06, 2022 12:16 pm
Στην προέκταση της σταθερής διαμέτρου , ενός ημικυκλίου κινείται σημείο .

Σχεδιάζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο , το ημικύκλιο διαμέτρου και έστω το μέσο του .

Η εφαπτομένη από το προς το σταθερό ημικύκλιο τέμνει την προέκταση της στο .

Για ποια θέση του σημείου , ελαχιστοποιείται το τμήμα ; Χρήση λογισμικού επιτρεπτή .

: minimize.png (33.24 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Από το Πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο $\triangle KTM$ :

$\displaystyle{\boxed{(x + y + 2)^2 + y^2 = (TM)^2} \quad (1)}$

Από την ομοιότητα των δύο ορθογωνίων τριγώνων που φαίνονται στο σχήμα:

$\displaystyle{\dfrac{x+1}{(TM)} = \dfrac{1}{y} \Leftrightarrow \boxed{(TM)^2 = x^2y^2 + 2xy^2 + y^2} \quad (2)}$

Συνδυάζοντας τις (1)

,

καταλήγω στην:

(x + y + 2)^2 + y^2 = x^2y^2 + 2xy^2

όπου προφανώς x > 0

και

.

Με (κατά)χρηση λογισμικού, παίρνω την απάντηση:

: mathematica.jpg (12.64 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 06, 2022 12:16 pm
Ημιμεγιστοποίηση.pngΣτην προέκταση της σταθερής διαμέτρου , ενός ημικυκλίου κινείται σημείο .

Σχεδιάζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο , το ημικύκλιο διαμέτρου και έστω το μέσο του .

Η εφαπτομένη από το προς το σταθερό ημικύκλιο τέμνει την προέκταση της στο .

Για ποια θέση του σημείου , ελαχιστοποιείται το τμήμα ; Χρήση λογισμικού επιτρεπτή .

Από τα όμοια τρίγωνα TSO, TKM

είναι $\displaystyle \frac{2}{d} = \frac{{x + 1}}{{TM}} = \frac{{TS}}{{x + 2 + \frac{d}{2}}} = \frac{{2\sqrt {{x^2} + 2x} }}{{2x + d + 4}}$

: Ημιελαχιστοποίηση.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

απ' όπου παίρνω $\displaystyle TM = \frac{{d(x + 1)}}{2},d = \frac{{2(x + 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} - 1}} \Rightarrow$ $\boxed{TM = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} - 1}}}$

Με τη βοήθεια λογισμικού τώρα, $\boxed{T{M_{\min }} \simeq 6,5628}$ όταν $\boxed{x\simeq 1,983}$ Τότε όμως, $\boxed{d\simeq 4,4}$

Ημιελαχιστοποίηση

Ημιελαχιστοποίηση

Re: Ημιελαχιστοποίηση

Re: Ημιελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση