Εγκεντρικότητες

KARKAR · #1

Το τρίγωνο ABC

έχει σταθερή βάση BC=a

, αλλά κινούμενη την κορυφή

. Τμήμα $DE\parallel BC$ ,

διέρχεται από το έγκεντρο

του τριγώνου και ισχύει : $DE=\dfrac{2a}{3}$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

.

#2

$\displaystyle \frac{{AI}}{{AF}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{{a + b + c}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow b + c = 2a,$ άρα η κορυφή

κινείται σε έλλειψη με εστίες B, C

και

μεγάλο άξονα ST=2a.

Από τον γεωμετρικό τόπο εξαιρούνται τα σημεία S, T.

Η εξίσωση του γεωμετρικού

τόπου είναι $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{3{a^2}/4}} = 1$ (αρχή των αξόνων το μέσο του

).