Πρόβλημα προσανατολισμού σε κύκλο

KARKAR · #1

: Πρόβλημα προσανατολισμού σε κύκλο.png (14.36 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Η

είναι οριζόντια διάμετρος ενός κύκλου , ενώ το

είναι ο νότιος πόλος του . Σημείο

κινείται στο βόρειο ημικύκλιο . Ονομάζουμε

την προβολή του

στην

και

την τομή

της

με την

. Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος

( συναρτήσει της ακτίνας

) .

#2

Ας είναι

το κέντρο του κύκλου και

η προβολή του

στη διάμετρο .Θέτω: $PQ = x,\,\,SP = d\,,\,\,\,SQ = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TD = h$ .

Επειδή προφανώς $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \Leftrightarrow \widehat {{\theta _1}} + \widehat {OSP} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {OSP} = 45^\circ$ θα είναι : $\vartriangle PWS \approx \vartriangle OQS$ .

Έτσι: $\dfrac{{SQ}}{{SW}} = \dfrac{{OS}}{{PS}} \Rightarrow \dfrac{k}{{r\sqrt 2 }} = \dfrac{r}{d} \Rightarrow \boxed{kd = {r^2}\sqrt 2 }\,\,\left( 1 \right)$ .

Προφανώς το άθροισμα : k + d

γίνεται ελάχιστο όταν $\boxed{k = d}\,\,\,\left( 2 \right)$

Από Θ συνημίτονου στο $\vartriangle SPQ$ έχω : ${x^2} = {k^2} + {d^2} - kd\sqrt 2 = {\left( {k + d} \right)^2} - 2kd - kd\sqrt 2$ που λόγω της $\left( 1 \right)$ δίδει:

${x^2} = {\left( {k + d} \right)^2} - 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right){r^2}$ . Κι επειδή η ποσότητα $2\left( {\sqrt 2 + 1} \right){r^2}$ είναι σταθερή

: θέμα προσανατολισμού_ok.png (38.27 KiB) Προβλήθηκε 602 φορές

Το

γίνεται ελάχιστο όταν k + d

γίνει ελάχιστο δηλαδή και λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ .

Όταν $\boxed{k = d}\,$ . Τότε : $\dfrac{h}{r} = \dfrac{{TQ}}{{QS}} = \dfrac{{d\sqrt 2 - d}}{d} \Rightarrow \boxed{h = r\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}$

Οπότε προσδιορίζεται το

και με πράξεις ρουτίνας έχω: $\boxed{{x_{\min }} = r\sqrt {2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)} }$ .

Πρόβλημα προσανατολισμού σε κύκλο

Πρόβλημα προσανατολισμού σε κύκλο

Re: Πρόβλημα προσανατολισμού σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση