Καλή πρόοδο !

KARKAR · #1

Η ακολουθία : $a_{n}$ είναι αριθμητική πρόοδος , με πρώτο όρο τον $a_{1}$ και διαφορά $\omega$ .

Για κάθε θετικό ακέραιο

, ορίζουμε : $b_{n}=\dfrac{1a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+... + na_{n}}{n(n+1)}$

Εξετάστε αν η ακολουθία $b_{n}$ είναι κι αυτή αριθμητική πρόοδος .

#2

Καλημέρα σε όλους.

Για n = 1

είναι $\displaystyle {b_1} = \frac{{{a_1}}}{2}$

Για n=2

είναι $\displaystyle {b_2} = \frac{{{a_1} + 2{a_2}}}{6} = \frac{{{a_1} + 2\left( {{a_1} + \omega } \right)}}{6} = \frac{{{a_1}}}{2} + \frac{\omega }{3} = {b_1} + \frac{\omega }{3}$

Αρκεί να είναι $\displaystyle {b_{n + 1}} = {b_n} + \frac{\omega }{3}$ , για κάθε θετικό ακέραιο

.

$\displaystyle {b_n} + \frac{\omega }{3} = \frac{{1{a_1} + 2\left( {{a_1} + \omega } \right) + 3\left( {{a_1} + \omega } \right) + ... + n\left( {{a_1} + \left( {n - 1} \right)\omega } \right)}}{{n(n + 1)}} + \frac{\omega }{3}$

$\displaystyle = \frac{{\left( {1 + 2 + 3 + ... + n} \right){a_1} + \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + \left( {n - 1} \right) \cdot n} \right)\omega }}{{n(n + 1)}} + \frac{\omega }{3}$

$\displaystyle = \frac{{\frac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2}{a_1} + \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}}{3}\omega }}{{n(n + 1)}} + \frac{\omega }{3}$

$\displaystyle = \frac{{{a_1}}}{2} + \frac{{\left( {n - 1} \right)\omega }}{3} + \frac{\omega }{3} = \frac{{{a_1}}}{2} + \frac{{n\omega }}{3} = {b_1} + n \cdot \frac{\omega }{3} = {b_{n + 1}}$

Καλή πρόοδο !

Καλή πρόοδο !

Re: Καλή πρόοδο !

Μέλη σε σύνδεση