Ανισότητα με παραγοντικό

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Για κάθε

φυσικό να δείξετε ότι ισχύει $n^{2n-1}\geq(2n-1)!.$ Πότε ισχύει η ισότητα;

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 03, 2019 1:04 pm
Για κάθε φυσικό να δείξετε ότι ισχύει $n^{2n-1}\geq(2n-1)!.$ Πότε ισχύει η ισότητα;

Από

είναι:

$\displaystyle {\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{2n-1}k}{2n-1}}\geq \sqrt[2n-1]{\left ( 2n-1 \right )!}\Leftrightarrow \dfrac{\left ( 2n-1 \right )\left ( 2n-1+1 \right )}{2\left ( 2n-1 \right )}\geq \sqrt[2n-1]{\left ( 2n-1 \right )!}\Leftrightarrow n^{2n-1}\geq \left ( 2n-1 \right )!$

Η ισότητα ισχύει όταν όλοι οι όροι του αθροίσματος $\displaystyle \sum_{k=1}^{2n-1}k}$ είναι ίσοι,δηλαδή για n=1

.

minageus · #3

Παρατηρώ ότι ο αριθμός των όρων στο δεξιό μέλος είναι ίσο με τον αριθμό των όρων στο αριστερό.
Άρα, σκέφτομαι το εξής τέχνασμα:
Είναι $n^{2}\geq 1(2n-1)\Leftrightarrow (n-1)^{2}\geq 0$
$n^{2}\geq 2(2n-2)\Leftrightarrow (n-2)^{2}\geq 0$
Επίσης, είναι προφανές ότι $n\geq n$
Άρα, αν συνεχίσω με το ίδιο σκεπτικό, παίρνοντας δηλαδή από το δεξί μέλος δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα ίσο με

και δείχνω ότι $n^{2}\geq i(2n-i)\Leftrightarrow n^{2}-2ni+i^{2}\geq 0\Leftrightarrow (n-i)\geq 0$ , που ισχύει και πολλαπλασιάσω τις ανισότητες που προκύπτουν, λαμβάνω το ζητούμενο.

Ανισότητα με παραγοντικό

Ανισότητα με παραγοντικό

Re: Ανισότητα με παραγοντικό

Re: Ανισότητα με παραγοντικό

Μέλη σε σύνδεση