Δίδυμη απόσταση

KARKAR · #1

: Δίδυμη απόσταση.png (25.72 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=6

του κύκλου (O)

, θεωρούμε σημείο

, γράφουμε τον κύκλο (K , 3)

και ονομάζουμε

το ένα από τα δύο σημεία τομής των δύο κύκλων . Η

ξανατέμνει τον (K)

στο σημείο

.

Για ποια θέση του

μεγιστοποιείται το τμήμα

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 11:52 am
Δίδυμη απόσταση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου του κύκλου , θεωρούμε σημείο , γράφουμε τον κύκλο

και ονομάζουμε το ένα από τα δύο σημεία τομής των δύο κύκλων . Η ξανατέμνει τον στο σημείο .

Για ποια θέση του μεγιστοποιείται το τμήμα ;

.

: Πάνω από.png (34.73 KiB) Προβλήθηκε 61 φορές

.
Είναι

. Επειδή οι κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες, το

είναι στην μεσοκάθετο

του

.

Έστω OK=2a

(ζητούμενο). Εύκολα βλέπουμε ότι $DM=MB=3-a, \, BK=2a-3, \, BC=2a$ . Άρα $BT^2=6(3-a), \, AT^2=6(3+a)$ .

Από την δύναμη του σημείου

έχουμε $TB\cdot BS=DB\cdot BC$ , ισοδύναμα

$\sqrt {6(3-a)} \cdot BS= 2(3-a) \cdot 2a$ από όπου

$BS= \dfrac {4a\sqrt {3-a} }{\sqrt 6}$ και άρα $TS=TB+BS= (\sqrt 6 + \dfrac {4a}{\sqrt 6}) \sqrt {3-a}$

Έπεται ότι

$AS^2=AT^2+TS^2=6(3+a)+(\sqrt 6 + \dfrac {4a}{\sqrt 6})^2 (3-a)=36+24a- \dfrac {8a^3}{3}$

Με παραγώγιση έχουμε μέγιστο όταν $a=\sqrt 3$ .

Τελικά στην θέση μεγίστου είναι $\boxed {OK=2a=2\sqrt 3}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 11:52 am
Δίδυμη απόσταση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου του κύκλου , θεωρούμε σημείο , γράφουμε τον κύκλο

και ονομάζουμε το ένα από τα δύο σημεία τομής των δύο κύκλων . Η ξανατέμνει τον στο σημείο .

Για ποια θέση του μεγιστοποιείται το τμήμα ;

Εστω

$AK=x,BK=x-6=OL,OK=x-3,AL=x-3=OK,\hat{TAB}=\phi =\hat{OTA},\hat{TOB}=2\phi$

Προφανώς τα τρίγωνα

OTB,KLT

είναι ίσα άρα TL=TB

και από την ισότητα των τριγώνων

$OLT,TBK, \hat{TKA}=2\phi$

οπότε απο τη βασική πρόταση στο τρίγωνο

$ATK,\hat{TKA}=2\hat{TAK}\Leftrightarrow AT^{2}=9+3x,(1)$

Από Π.Θ στο τρίγωνο

$ATB,TB^{2}=27-3x,(2),$

Στό τρίγωνο

$TKS,9TS=TS((x-6)^{2}+TB.BS)\Leftrightarrow BS=\dfrac{(9-x)(x-3)}{\sqrt{3}(9-x)}, (TB+BS)^{2}=(9-x).\dfrac{x^{2}}{3} ,AS=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{27+9x+9x^{2}-x^{3}}=f(x), f'(x)=0\Leftrightarrow -x^{2}+6x+3=0\Leftrightarrow x=3+2\sqrt{3} ,x=3-2\sqrt{3},x> 6$

και μέγιστο υπάρχει για $x=3+2\sqrt{3}$

Δίδυμη απόσταση

Δίδυμη απόσταση

Re: Δίδυμη απόσταση

Re: Δίδυμη απόσταση

Μέλη σε σύνδεση