Εφιαλτικό υποτρίγωνο

KARKAR · #1

: Εφιαλτικό υποτρίγωνο.png (11.58 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές

Στην μεσοκάθετο του τμήματος

κινείται σημείο

, τέτοιο ώστε : MS<MB

. Φέρω : $BA \perp CS$ .

α) Πότε το τρίγωνο ASM

γίνεται ισοσκελές ; β) Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν του ASM

;

γ) ( Πειραματικό ) . Επιχειρείστε να βρείτε την μέγιστη περίμετρο του ASM

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 10, 2026 7:18 pm
Εφιαλτικό υποτρίγωνο.pngΣτην μεσοκάθετο του τμήματος κινείται σημείο , τέτοιο ώστε : . Φέρω : $BA \perp CS$ .

α) Πότε το τρίγωνο γίνεται ισοσκελές ; β) Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν του ;

γ) ( Πειραματικό ) . Επιχειρείστε να βρείτε την μέγιστη περίμετρο του .

: Εφιαλτικό υποτρίγωνο.png (14.33 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 10, 2026 7:18 pm
Εφιαλτικό υποτρίγωνο.pngΣτην μεσοκάθετο του τμήματος κινείται σημείο , τέτοιο ώστε : . Φέρω : $BA \perp CS$ .

α) Πότε το τρίγωνο γίνεται ισοσκελές ; β) Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν του ;

γ) ( Πειραματικό ) . Επιχειρείστε να βρείτε την μέγιστη περίμετρο του .

Χριστός Ανέστη!

α) Θέτω AS=x

και είναι $\displaystyle CM \cdot CB = CS \cdot CA \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{2} = b(b - x) \Leftrightarrow x = \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{{2b}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{{a^2} - 2{c^2}}}{{2b}}}$ (1)

Από την ομοιότητα των τριγώνων MSC, ABC,

έχω:

$\displaystyle \frac{x}{c} = \frac{{SM}}{c} = \frac{a}{{2b}} \Leftrightarrow x = \frac{{ac}}{{2b}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 2{c^2} + ac - {a^2} = 0 \Leftrightarrow c = \frac{a}{2} \Rightarrow$ $\boxed{ \widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 30^\circ}$

: Εφιαλτικό υποτρίγωνο.png (14.33 KiB) Προβλήθηκε 34 φορές

β) $\displaystyle (ASM) = \frac{1}{2}xMT\mathop = \limits^{(1)} \frac{{c({a^2} - 2{c^2})}}{{8\sqrt {{a^2} - {c^2}} }},$ όπου για $\boxed{x = \frac{a}{4}\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)}$

δίνει μέγιστη τιμή $\boxed{{(ASM)_{\max }} = \frac{{{a^2}}}{{16}}\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sqrt {\sqrt 5 - 2}}$

γ) Η περίμετρος είναι $\displaystyle p = x + SM + \frac{a}{2} \Rightarrow p(c) = \frac{{{a^2} - 2{c^2}}}{{2\sqrt {{a^2} - {c^2}} }} + \frac{{ac}}{{2\sqrt {{a^2} - {c^2}} }} + \frac{a}{2}$

και παίρνει μέγιστη τιμή $\boxed{{p_{\max }} = \frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt {6\sqrt 3 - 9} } \right)}$ όταν $\boxed{x = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}$

Εφιαλτικό υποτρίγωνο

Εφιαλτικό υποτρίγωνο

Re: Εφιαλτικό υποτρίγωνο

Re: Εφιαλτικό υποτρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση