Δίκαιη μοιρασιά

KARKAR · #1

: Δίκαιη μοιρασιά.png (5.46 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

Με τμήμα $ST \perp BC$ να διαιρεθεί τρίγωνο ABC

σε δύο ισεμβαδικές περιοχές .

Το πρόβλημα θεωρείται κλασικό , ψάχνουμε για πολλές διαφορετικές λύσεις .

#2

Kαλησπέρα σε όλους. Δίχως να πειράξουμε το σχήμα του Θανάση.

: Δίκαιη μοιρασιά.png (5.46 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat C \le 60^\circ$ . Αλλιώς εργαζόμαστε αναλόγως για τη μικρότερη γωνία του.

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu C = \frac{{CT}}{{SC}} \Leftrightarrow CT = SC \cdot \sigma \upsilon \nu C$

$\displaystyle \frac{{SC \cdot CT}}{{ba}} = \frac{1}{2} \Rightarrow S{C^2} = \frac{{ba}}{{2\sigma \upsilon \nu C}} = \frac{{{b^2}{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} \Rightarrow SC = \sqrt {\frac{{{b^2}{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}}$ , κατασκευάσιμο, αφού

$\displaystyle S{C^2} \le {b^2} \Leftrightarrow {a^2} \le {a^2} + {b^2} - {c^2} \Leftrightarrow b \ge c$ , που ισχύει.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 09, 2026 4:44 pm
Δίκαιη μοιρασιά.pngΜε τμήμα $ST \perp BC$ να διαιρεθεί τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικές περιοχές .

Το πρόβλημα θεωρείται κλασικό , ψάχνουμε για πολλές διαφορετικές λύσεις .

: δίκαιη.png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές

.
Θέλουμε $(STC) = \dfrac {1}{2} (ABC)$

Φέρνουμε το ύψος

, και έστω DC=p

οπότε $\dfrac {(ADC)} {(ABC) } = \dfrac {p}{a}$ (διότι έχουν ίσα ύψη). Έστω ακόμα TC=x

(ζητούμενο). Τότε

$\dfrac {1}{2} = \dfrac {(STC)} {(ABC)} = \dfrac {(STC)} {(ADC)} \cdot \dfrac {(ADC)} {(ABC)} = \left ( \dfrac {x} {p} \right )^ 2 \cdot \dfrac {p}{a}$ .

Άρα $\boxed {x^2= \dfrac {ap}{2}}$ , δηλαδή το

κατασκευάσιμο. Και λοιπά.

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 09, 2026 4:44 pm
Δίκαιη μοιρασιά.pngΜε τμήμα $ST \perp BC$ να διαιρεθεί τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικές περιοχές .

Το πρόβλημα θεωρείται κλασικό , ψάχνουμε για πολλές διαφορετικές λύσεις .

Το εμβαδόν του τετράπλευρου ASTB

μετατρέπεται σε ισεμβαδικο τρίγωνο δηλαδή πολυγωνο με πλευρα μια

λιγότερη από το τετράπλευρο Αρα

$(ASTB)=(BST)+(ASB)=(SBT)+(LBS)=(LST),(LST)=(STC) \Rightarrow LT=TC=x$

Το υπολογιστικό μέρος είναι σύστημα τρεις εξισώσεις με τρείς αγνώστους. Συνεχίζω αργότερα

Εστω $AK=\upsilon _{a},ST=\upsilon ,SC=y,TC=x,$

Από Π.Θ και

$BS//AL,AK//ST,y^{2}=\upsilon ^{2}+x^{2},(1), \dfrac{y}{b} =\dfrac{a}{2x},(2), \dfrac{\upsilon }{\upsilon _{a}} =\dfrac{y}{b},(3) (1),(2),(3\Rightarrow \upsilon ^{2}=\dfrac{1-a^{2}b^{2}+\sqrt{(a^{2}b^{2}-1)^{2}+4\lambda ^{2}}}{2}, \lambda ^{2} =\dfrac{a^{2}\upsilon _{a}^{2}}{2}, x^{2}=\dfrac{1}{2}(-\upsilon ^{2}+\sqrt{\upsilon ^{4}+a^{2}b^{2}}), y^{2}=\dfrac{1}{2}(\upsilon ^{2}+\sqrt{\upsilon ^{4}+a^{2}b^{2}})$

KARKAR · #5

: Δίκαιη μοιρασιά λύση.png (32.9 KiB) Προβλήθηκε 36 φορές

Παραλλαγή της λύσης του Μιχάλη και συμπλήρωση του "και λοιπά " . ( Το

είναι το μέσο της

)

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 10, 2026 10:53 am
... συμπλήρωση του "και λοιπά " . ( Το είναι το μέσο της )

Θανάση, σωστά. Τώρα είναι πλήρες. Όμως επειδή κανείς, μα ΚΑΝΕΙΣ, δεν έχει πρόβλημα να βρει

με

δοθέντα (που άλλωστε είναι θεωρία σε όλες ανεξαιρέτως τις Σχολικές Γεωμετρίες, διαχρονικά) είναι καλύτερο να μείνει εκτός.

Και διευκρινίζω: Σε μία εξέταση ενός μαθητή ή σε ένα διαγώνισμα, το βήμα της κατασκευής x^2=cd

είναι απαραίτητο δεδομένου ότι γράφει πρωτάρης και εμείς θέλουμε να αξιολογήσουμε τι ακριβώς ξέρει. Όμως σε ένα φόρουμ όπως το mathematica που έχει πιο καταρτισμένους αναγνώστες, η προσκόλληση σε υπερβολική λεπτομέρεια είναι βήμα στην λάθος κατεύθυνση. Είναι αυτό που έχω αρκετές φορές επισημάνει ως pedantic, δηλαδή "tiresome, overly precise teaching".

Κοντολογίς, το ότι έγραψα "και λοιπά" ήταν συνειδητή μου επιλογή κατά το απόφθεγμα "παν μέτρον άριστον", αποφεύγοντας περιττή λεπτομέρεια, και όχι γιατί βαριόμουν να συμπληρώσω τα τετριμμένα.

Δίκαιη μοιρασιά

Δίκαιη μοιρασιά

Re: Δίκαιη μοιρασιά

Re: Δίκαιη μοιρασιά

Re: Δίκαιη μοιρασιά

Re: Δίκαιη μοιρασιά

Re: Δίκαιη μοιρασιά

Μέλη σε σύνδεση