Συγκρίνω εμβαδά και υπολογίζω γωνίες

KARKAR · #1

: Μετρώ εμβαδά και υπολογίζω γωνίες.png (30.47 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Με διαμέτρους τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, σχεδιάζω εξωτερικά ημικύκλια , των οποίων

τα μέσα ονομάζω M , N , L

. Αν :

, υπολογίστε την γωνία $\theta$ και την $\tan\phi$ .

add2math · #2

Θεωρώ κατακόρυφο σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το A(0,0),B(2b,0),C(0,2c),b,c>0

.

: Συγκρίνω εμβαδά και υπολογίζω γωνίες.png (69.22 KiB) Προβλήθηκε 50 φορές

Εύκολα βρίσκω τα σημεία L(-c,c),N(b,-b),M(b+c,b+c)

.
Είναι $\left( MNL \right) = \frac{1}{2}\det\left| \overrightarrow{ML},\overrightarrow{MN} \right| = \frac{1}{2}\det\left| \begin{matrix} - c - (b + c) & c - (b + c) \\ b - (b + c) & - b - (b + c) \\ \end{matrix} \right| = (b + c)^{2}$

Η σχέση (MNL)=3(ABC)

γίνεται

.
Από τον τύπο του εσωτερικού γινομένου έχω
$\displaystyle \cos\phi = \frac{\overrightarrow{\text{ML}} \cdot \overrightarrow{\text{MN}}}{\left| \overrightarrow{\text{ML}} \right|\left| \overrightarrow{\text{MN}} \right|} = \frac{\text{bc} + 2c^{2} + 2b^{2} + \text{bc}}{\sqrt{(b + 2c)^{2} + b^{2}}\sqrt{c^{2} + (2b + c)^{2}}} = \frac{10\text{bc}}{\sqrt{12\text{bc} + 2c^{2}}\sqrt{12\text{bc} + 2b^{2}}}$
$\displaystyle = \frac{10}{\sqrt{12\frac{b}{c} + 2}\sqrt{12\frac{c}{b} + 2}} = \frac{10}{\sqrt{144 + 24\frac{b}{c} + 24\frac{c}{b} + 4}} = \frac{10}{\sqrt{148 + 24 \cdot 4}} = \frac{10}{\sqrt{244}}$
οπότε $\displaystyle \tan^{2}\phi = \frac{1}{\cos^{2}\phi} - 1 = \frac{144}{100} \Rightarrow \boxed{\tan\phi = \frac{6}{5}}$

Από την b^2-4cb+c^2=0

έχω

ή $\tan^2 \theta-4 \tan \theta+1=0⇔\tan \theta=(4\pm\sqrt{12})/2=2\pm\sqrt{3}⇒\boxed{\theta=75^{\circ}}$ ή $\boxed{\theta=15^{\circ}}$ .

Συγκρίνω εμβαδά και υπολογίζω γωνίες

Συγκρίνω εμβαδά και υπολογίζω γωνίες

Re: Συγκρίνω εμβαδά και υπολογίζω γωνίες

Μέλη σε σύνδεση