Αποδεικτική πριν τη νηστεία...

#1

: Πριν τη νηστεία...png (23.89 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές

Δύο ίσοι κύκλοι (O, R), (K, R)

εφάπτονται εξωτερικά στο

Από σημείο

του κύκλου (O),

φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα SC, SD

του κύκλου (K)

που επανατέμνουν τον (O)

στα

αντίστοιχα. Αν SA=AC,

να δείξετε ότι:

α) Τα σημεία A, P, D

είναι συνευθειακά, β) AC=2BD

και γ) $SK=2R\sqrt 2.$

Dimessi · #2

: humpty.png (63.7 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Dimessi έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2026 3:06 pm
humpty.png
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Με αναλυτική είναι πολύ απλό.

Όταν δίνουμε μία απάντηση σε απόκρυψη, οφείλουμε μέσα σ' ένα εύλογο χρονικό
διάστημα να δίνουμε και τη λύση. Αλλιώς η άσκηση χάνεται. Περιμένω ανταπόκριση.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2026 11:58 am
Πριν τη νηστεία...png
Δύο ίσοι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο Από σημείο του κύκλου φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα του κύκλου που επανατέμνουν τον στα αντίστοιχα. Αν να δείξετε ότι:

α) Τα σημεία είναι συνευθειακά, β) και γ) $SK=2R\sqrt 2.$

A) Επειδή οι δυο κύκλοι είναι ίσοι,θα είναι ZP=PC

και

Έτσι, $\triangle ZBP= \triangle PNC \Rightarrow \angle PNC= \angle ZBP \Rightarrow ZA=DC$

Αν τώρα L,Q

αντιδιαμετρικά των Z,D

προφανώς $\triangle ZAL= \triangle DQC$ κι άμεσα προκύπτει η

ισότητα των γωνιών $\theta$ άρα A,P,D

συνευθειακά

B)Επειδή A,P,D

συνευθειακά θα είναι DP=PA

και

κι αφού όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες

θα είναι EN//DC

άρα

μέσον της

Όμως

άρα

παραλ/μμο ,συνεπώς TA=AC=2NT=2BD

Γ)Είναι

και $BD.DS=DP.DA\Rightarrow BD.4BD= \dfrac{DA}{2}.DA \Rightarrow DA^2=8BD^2$

Με $AD=2 \sqrt{2} BD, SD=4BD,AS=2BD$ ο ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ASD

δίνει εύκολα

$cos \phi =- \dfrac{1}{2 \sqrt{2} }$ άρα $cos \omega = \dfrac{1}{2 \sqrt{2} }$

Από τον τύπο $cos2 \omega =2cos^2 \omega -1$ παίρνουμε $cos2 \omega = cos \angle SOK=- \dfrac{3}{4}$

Τέλος ,πάλι με ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο KOS

παίρνουμε $SK= 2\sqrt{2} R$ (Βγαίνει κι αλλιώς)

: Αποδεικτική πριν....png (129.88 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές

STOPJOHN · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2026 11:58 am
Πριν τη νηστεία...png
Δύο ίσοι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο Από σημείο του κύκλου φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα του κύκλου που επανατέμνουν τον στα αντίστοιχα. Αν να δείξετε ότι:

α) Τα σημεία είναι συνευθειακά, β) και γ) $SK=2R\sqrt 2.$

α)
Έστω $\hat{PCD}=\omega =\hat{BDP}=\hat{\Theta PD},\hat{PDC}=\hat{PCA}=\hat{ACP}=\phi ,\hat{A\Pi C}=\sigma$

Από την ισότητα των τριγώνων $O\Pi P,PKC,\Pi P=PC,AP//S\Pi$

Στό εγγράψιμο τετράπλευρο

$AS\Pi P,\hat{APC}=\sigma +\phi =\hat{\Pi SA},APDC,\hat{\sigma }=\hat{\omega },\Pi A//DC$

Αρα τα σημεία A,P,D

είναι συνευθειακά γιατί $\hat{\Theta PD}=\hat{APE}$

β) $\hat{PCD}=\hat{PSA}\Rightarrow AP=PD=x$

$BD.DS=DP.DA,AP.AD=AC^{2},\dfrac{BD.2AC}{AC^{2}}=\dfrac{DP}{AP}\Rightarrow AC=2BD$

γ) $AP.AD=AC^{2}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}AC}{2},(*),SD^{2}+DC^{2}=2AD^{2}+\dfrac{SC^{2}}{2}\Rightarrow DC=2x, R.SC=IC.CK.SK\Rightarrow SK=\dfrac{2x\sqrt{2}R}{x}=2R\sqrt{2}$

Αποδεικτική πριν τη νηστεία...

Αποδεικτική πριν τη νηστεία...

Re: Αποδεικτική πριν τη νηστεία...

Re: Αποδεικτική πριν τη νηστεία...

Re: Αποδεικτική πριν τη νηστεία...

Re: Αποδεικτική πριν τη νηστεία...

Μέλη σε σύνδεση