Μαθηματικά της προόδου

KARKAR · #1

: Μαθηματικά της προόδου.png (14.72 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

, θεωρούμε σημείο

και από το μέσο

του τόξου $\overset{\frown}{AS}$ , φέρουμε

τις MO , MB

, οι οποίες τέμνουν την

στα σημεία P , T

αντίστοιχα . Βρείτε την θέση του

, για την

οποία τα τμήματα PT , TS , AP

, είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμ. προόδου και βρείτε τον λόγο της .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2026 7:52 pm
Μαθηματικά της προόδου.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε σημείο και από το μέσο του τόξου $\overset{\frown}{AS}$ , φέρουμε

τις , οι οποίες τέμνουν την στα σημεία αντίστοιχα . Βρείτε την θέση του , για την

οποία τα τμήματα , είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμ. προόδου και βρείτε τον λόγο της .

Έστω $TS=x,AP=y,TP=z,x^{2}=yz,z< x< y,\lambda =\dfrac{x}{z}=\dfrac{y}{x},$ ,

μεσοκάθετος της

Οπότε

$z+x=y,(1),x^{2}=yz,(2)\Rightarrow (y-z)^{2}=yz\Leftrightarrow \dfrac{y}{z} =\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}, \dfrac{y}{z}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} y=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},(2) \Rightarrow \dfrac{x}{z}=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}=\lambda$

Ομοίως

$y=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}z,\dfrac{x}{z}=\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}=\lambda$

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

$MPT,TSB,\dfrac{x}{z}=\dfrac{SB}{MP},2PS=SB=2\sqrt{r^{2}-y^{2}},MP=r-\sqrt{r^{2}-y^{2}}, \sqrt{3+\sqrt{5}} (r-\sqrt{r^{2}-y^{2}})=2\sqrt{2}\sqrt{r^{2}-y^{2}}\Rightarrow y^{2}= \dfrac{4r^{2}}{5}\Leftrightarrow y=\dfrac{2r\sqrt{5}}{5}$

Χρησιμοποιήσαμε τη σχέση $\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{5}+1$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2026 7:52 pm
Μαθηματικά της προόδου.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε σημείο και από το μέσο του τόξου $\overset{\frown}{AS}$ , φέρουμε

τις , οι οποίες τέμνουν την στα σημεία αντίστοιχα . Βρείτε την θέση του , για την

οποία τα τμήματα , είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμ. προόδου και βρείτε τον λόγο της .

Υπολογισμός του λόγου $\lambda.$ Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

$\displaystyle AP = PS \Leftrightarrow x{\lambda ^2} = x + x\lambda \Leftrightarrow {\lambda ^2} - \lambda - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\lambda = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \Phi }$

: Μαθηματικά της προόδου.png (17.56 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές

Εντοπισμός του

$\displaystyle \frac{{SB}}{{MP}} = \frac{{TS}}{{TP}} = \lambda \Leftrightarrow \frac{{2OP}}{{MP}} = \lambda \Leftrightarrow \frac{{OP}}{r} = \frac{\lambda }{{\lambda + 2}} \Leftrightarrow OP = \frac{{\lambda r}}{{\lambda + 2}} = \frac{{r\sqrt 5 }}{5}$

Γράφω τον κύκλο $\displaystyle \left( {{\rm O},\frac{{r\sqrt 5 }}{5}} \right)$ και φέρνω από το

την εφαπτομένη του, που τέμνει το ημικύκλιο στο ζητούμενο σημείο

KARKAR · #4

: πρόοδος.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 59 φορές

Ένας "παιχνιδιάρικος" τρόπος εντοπισμού του

: Θεωρώ σημείο

της διαμέτρου , τέτοιο ώστε :

$BQ=\dfrac{AB}{5}$ και υψώνω το κάθετο τμήμα

. Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση ...

Μαθηματικά της προόδου

Μαθηματικά της προόδου

Re: Μαθηματικά της προόδου

Re: Μαθηματικά της προόδου

Re: Μαθηματικά της προόδου

Μέλη σε σύνδεση