Λόγος λόγω διχοτόμου

KARKAR · #1

: Λόγος λόγω διχοτόμου.png (15.43 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές

Το

είναι σημείο της διαμέτρου AOB=10

ενός ημικυκλίου , τέτοιο ώστε : AP=2

. Εντοπίστε

σημεία S,T

του ημικυκλίου , για τα οποία είναι : $\widehat{PSO}=\widehat{OST}$ και : ST=3SP

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 8:04 pm
Λόγος λόγω διχοτόμου.pngΤο είναι σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , τέτοιο ώστε : . Εντοπίστε

σημεία του ημικυκλίου , για τα οποία είναι : $\widehat{PSO}=\widehat{OST}$ και : .

: Λόγος λογ.png (22.14 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

.
Με

ο Νόμος των Συνημιτόνων σε καθένα από τα τρίγωνα $OPS, \, OST$ δίνει

$3^2=x^2+5^2-2\cdot 5 \cdot x \cos \theta$ και $5^2=5^2+(3x)^2-2\cdot 5 \cdot (3x)\cos \theta$

Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε $x=2\sqrt 2, \,\cos \theta = \dfrac {3\sqrt 2}{5}$ . Τα υπόλοιπα άμεσα. Π.χ. τα S,T

εντοπίζονται απλά με κανόνα και διαβήτη. Αν θέλουμε και τις συντεταγμένες τους (αν και δεν το ζητάει η άσκηση) το

είναι στους κύκλους

x^2+y^2=5^2

(ο δοθείς) και $(x+3)^2+y^2 = (2\sqrt 2)^2$ από όπου $S\left (-\dfrac {13}{3}, \, \dfrac {2\sqrt {14}}{3} \right )$ και όμοια το

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 8:04 pm
Το είναι σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , τέτοιο ώστε : . Εντοπίστε

σημεία του ημικυκλίου , για τα οποία είναι : $\widehat{PSO}=\widehat{OST}$ και : .

Καλησπέρα ...

Αναρτώ και πάλι μια λύση χωρίς λόγια...

Φαίνεται από το αναλυτικό μου σχήμα η ιδέα της λύσης ....

: Λόγος λόγω διχοτόμου 1.png (66.33 KiB) Προβλήθηκε 36 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 8:04 pm
Λόγος λόγω διχοτόμου.pngΤο είναι σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , τέτοιο ώστε : . Εντοπίστε

σημεία του ημικυκλίου , για τα οποία είναι : $\widehat{PSO}=\widehat{OST}$ και : .

Στο ακόλουθο σχήμα είναι $TM=ML=SK \Rightarrow SKLM$ ισοσκελές τραπέζιο άρα SL=KM=ST=3x

Έτσι

και $x+y=3x\Rightarrow y=2x$ απ' όπου εύκολα $x=2 \sqrt{2}\Rightarrow ST=6 \sqrt{2}$

και η κατασκευή πλέον είναι απλή.

: Λόγος λόγω διχοτόμου.png (46.05 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 8:04 pm
Λόγος λόγω διχοτόμου.pngΤο είναι σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , τέτοιο ώστε : . Εντοπίστε

σημεία του ημικυκλίου , για τα οποία είναι : $\widehat{PSO}=\widehat{OST}$ και : .

Πιο σύντομα

Με $PC \bot OS \Rightarrow CS =x ,CT=2x$ και OC=3 , CN=2

$SC.CT=NC.CD \Rightarrow 2x.x=2.8\Rightarrow x=2 \sqrt{2} \Rightarrow ST=6 \sqrt{2}$ κ.λ.π

: Λόγος λόγω διχοτόμου1.png (26.59 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 8:04 pm
Λόγος λόγω διχοτόμου.pngΤο είναι σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , τέτοιο ώστε : . Εντοπίστε

σημεία του ημικυκλίου , για τα οποία είναι : $\widehat{PSO}=\widehat{OST}$ και : .

Απο το θεώρημα τεμνόμενων χορδών

$AB,SI,SP.PI=AP.PB\Rightarrow x.PI=16,(1)$

Από το Π.Θ. στα τρίγωνα $SID,SDT,(x+PI)^{2}+ID^{2}=10^{2},(2),9x^{2}+DT^{2}=10^{2},(3),DI=DT, (1),(2),(3) \Rightarrow PI=2x,2x^{2}=16,x=2\sqrt{2},ST=6.\sqrt{2}$

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 8:04 pm
Λόγος λόγω διχοτόμου.pngΤο είναι σημείο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , τέτοιο ώστε : . Εντοπίστε

σημεία του ημικυκλίου , για τα οποία είναι : $\widehat{PSO}=\widehat{OST}$ και : .

: Λόγος λόγω διχοτόμου.png (14.92 KiB) Προβλήθηκε 38 φορές

$\displaystyle SP \cdot PE = AP \cdot PB \Leftrightarrow xPE = 16 \Leftrightarrow PE = \frac{{16}}{x}$

Αλλά, SE=ST=3x.

Άρα, $\displaystyle \frac{{16}}{x} = 2x \Leftrightarrow x = PS = 2\sqrt 2$ και $ST=6\sqrt 2.$

Λόγος λόγω διχοτόμου

Λόγος λόγω διχοτόμου

Re: Λόγος λόγω διχοτόμου

Re: Λόγος λόγω διχοτόμου

Re: Λόγος λόγω διχοτόμου

Re: Λόγος λόγω διχοτόμου

Re: Λόγος λόγω διχοτόμου

Re: Λόγος λόγω διχοτόμου

Μέλη σε σύνδεση