Τρεις συν ένας κύκλοι

#1

: Τρεις και ένας κύκλοι.png (33 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

Από σημείο

που κινείται σε κύκλο (O)

φέρω τρεις τυχούσες χορδές PA, PB, PC.

Οι κύκλοι με

διαμέτρους PA, PB, PC

τέμνονται ανά δύο στα σημεία K, L, M,

διαφορετικά του

Να δείξετε

ότι τα σημεία K, L, M

είναι συνευθειακά.

Dimessi · #2

: Συνευθειακότητα εκ διαμέτρων.png (114.22 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές

$\angle PKA=\angle PKB\overset{\left ( \delta \iota \alpha \mu \epsilon \tau \varrho o\iota \right )}=90^\circ\Rightarrow A\in KB.$
$\angle PMB=\angle PMC\overset{\left ( \delta \iota \alpha \mu \epsilon \tau \varrho o\iota \right )}=90^\circ\Rightarrow M\in BC.$
$\angle PLA=\angle PLC\overset{\left ( \delta \iota \alpha \mu \epsilon \tau \varrho o\iota \right )}=90^\circ\Rightarrow L\in AC.$
$\displaystyle \angle BKM\overset{BKPM \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle BPM\overset{\angle PMB=90^\circ}=90^\circ-\angle PBM\overset{M\in BC}=90^\circ-\angle PBC\overset{PABC \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=$ $90^\circ-\angle PAC$
$\displaystyle \overset{L\in AC}=90^\circ-\angle PAL\overset{\angle PLA=90^\circ}=\angle APL\overset{AKPL \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle AKL\overset{A\in KB}\equiv \angle BKL\Rightarrow \boxed{L\in KM}.$

#3

Επέκταση της Πρότασης αυτής, ΕΔΩ (ποστ 68):΄
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 3&start=60

Νίκος Κυριαζής

#4

Dimessi έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 24, 2026 2:19 pm
Συνευθειακότητα εκ διαμέτρων.png
$\angle PKA=\angle PKB\overset{\left ( \delta \iota \alpha \mu \epsilon \tau \varrho o\iota \right )}=90^\circ\Rightarrow A\in KB.$
$\angle PMB=\angle PMC\overset{\left ( \delta \iota \alpha \mu \epsilon \tau \varrho o\iota \right )}=90^\circ\Rightarrow M\in BC.$
$\angle PLA=\angle PLC\overset{\left ( \delta \iota \alpha \mu \epsilon \tau \varrho o\iota \right )}=90^\circ\Rightarrow L\in AC.$

Συντόμευση της λύσης του Δημήτρη.

Από εδώ και κάτω, η KLM

είναι η ευθεία $\rm Simson$ του τριγώνου ABC

που αντιστοιχεί στο σημείο

Τρεις συν ένας κύκλοι

Τρεις συν ένας κύκλοι

Re: Τρεις συν ένας κύκλοι

Re: Τρεις συν ένας κύκλοι

Re: Τρεις συν ένας κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση