Λαβύρινθος

[KARKAR]

Λαβύρινθος.png (9.34 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

Από σημείο του οποίου η απόσταση από το κέντρο του κύκλου είναι : , φέρουμε τέμνουσα

και με υποτείνουσα την σχεδιάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο , του οποίου η πλευρά διέρχεται από το .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την στο σημείο , του οποίου την προβολή στην ονομάζουμε .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Βρείτε εκείνη την θέση του , για την οποία είναι : .

[abgd]

Lavirinthos.png (70.05 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Εύκολα δείχνουμε ότι και ομοκυκλικά.

Θεωρούμε το σημείο στο οποίο η τέμνει τον πράσινο κύκλο.

Χρησιμοποιώντας τις δυνάμεις των σημείων ως προς τους κύκλους έχουμε τις ισότητες:

, από τη δύναμη του σημείου στον πράσινο κύκλο.

, από τη δύναμη του σημείου στον μαύρο κύκλο.

, από τη δύναμη του σημείου στον κόκκινο κύκλο.

, από τη δύναμη του σημείου στον πράσινο κύκλο.

Από τις δύο τελευταίες ισότητες, πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε ότι το είναι το μέσο του

Έτσι, η ισότητα γίνεται:

Από τις προκύπτει εύκολα ότι .

Για το β)...
στο σημείο φέρουμε το κάθετο τμήμα ,

την ημιευθεία

και την κάθετο από από το στην η οποία τέμνει τον μαύρο κύκλο στα σημεία .

Και ένα επιπλέον ερώτημα:

Γιατί τα σημεία είναι συνευθειακά;

[george visvikis]

Λαβύρινθος.pngΑπό σημείο του οποίου η απόσταση από το κέντρο του κύκλου είναι : , φέρουμε τέμνουσα

και με υποτείνουσα την σχεδιάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο , του οποίου η πλευρά διέρχεται από το .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την στο σημείο , του οποίου την προβολή στην ονομάζουμε .

α) Υπολογίστε το τμήμα ... β) Βρείτε εκείνη την θέση του , για την οποία είναι : .

Αλλιώς για το β)

Λαβύρινθος.png (19.17 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων είναι Άρα το ορίζεται ως το σημείο τομής

του Απολλώνιου κύκλου με το ημικύκλιο διαμέτρου Στη συνέχεια το εντοπίζεται εύκολα.


Δώρο: Η είναι διχοτόμος του τριγώνου

[abgd]

Δώρο: Η είναι διχοτόμος του τριγώνου

Ωραία Γιώργο... λέω να πάρω το δώρο. Χριστούγεννα έρχονται

Είναι και εφόσον , από το ορθογώνιο θα πρέπει: και έτσι έχουμε διαδοχικά:

, , και .



και από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου θα πρέπει: διχοτόμος του τριγώνου .

[george visvikis]

Lavirinthos.png

Και ένα επιπλέον ερώτημα:

Γιατί τα σημεία είναι συνευθειακά;

Η τέμνει την στο και τον κόκκινο κύκλο στο θα δείξω ότι το είναι σημείο του πράσινου κύκλου.

ως κάθετες στην ίδια ευθεία Αλλά τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν:

Λαβύρινθος.β.png (35.57 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές

και άρα το είναι παραλληλόγραμμο

και το είναι μέσο του Αλλά από την παραπάνω απόδειξη του Κώστα, το μέσο του είναι σημείο του

πράσινου κύκλου και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

[abgd]

Ωραία Γιώργο....

κάνε μια τυπογραφική διόρθωση: στο σημείο που γράφεις " παραλληλόγραμμο" πρέπει να γραφεί παραλληλόγραμμο.

Βέβαια είχα στο νου μου, για την απόδειξη των συνευθειακών , το εξής :

Στο τρίγωνο το σημείο , στο οποίο η διάμεσός του τέμνει τον κύκλο, είναι το βαρύκεντρο του, αφού .

Έτσι, η διάμεσος διέρχεται από το .

[george visvikis]

Ωραία Γιώργο....

κάνε μια τυπογραφική διόρθωση: στο σημείο που γράφεις " παραλληλόγραμμο" πρέπει να γραφεί παραλληλόγραμμο.

Βέβαια είχα στο νου μου, για την απόδειξη των συνευθειακών , το εξής :

Στο τρίγωνο το σημείο , στο οποίο η διάμεσός του τέμνει τον κύκλο, είναι το βαρύκεντρο του, αφού .

Έτσι, η διάμεσος διέρχεται από το .

Πολύ καλό Κώστα Έπρεπε να το είχα σκεφτεί λόγω του γράμματος

Το άλλο το διόρθωσα. Βλέπεις, με λίγη πρεσβυωπία και αστιγματισμό, τα

στο σχήμα φαίνονται ίδια