Γεωμετρικές ακρότητες

KARKAR · #1

: Γεωμετρικά ακρότατα.png (11.41 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές

Στον κύκλο : x^2+y^2=25

, με κορυφή το σημείο A(-3,4)

, εγγράφουμε τρίγωνο ABC

με την ιδιότητα : AB^2+AC^2=120

. Βρείτε τις ακρότατες τιμές της πλευράς

και

της διαμέσου

. Πότε είναι : $BC \parallel x'x$ ;

abgd · #2

: g.akr..png (42.26 KiB) Προβλήθηκε 38 φορές

Αν $\displaystyle{AB=c, AC=b, BC=a, AM=\mu_a}$ , ζητάμε τα ακρότατα των $\displaystyle{a, \mu_a}$ .

Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων είναι: $\displaystyle{\boxed{120=2\mu_a^2+\dfrac{a^2}{2}}}$ και έτσι,

το ελάχιστο της $\displaystyle{\mu_a}$ δίνει και το μέγιστο της $\displaystyle{a}$ .

Έστω $\displaystyle{M\left(x_0,y_0\right), B\left(x_1,y_1\right), C\left(x_2,y_2\right)}$ .

$\displaystyle{x_1+x_2=2x_0, \ \ y_1+y_2=2y_0}$

$\displaystyle{x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2=25}$

$\displaystyle{\left(x_1+3\right)^2+\left(y_1-4\right)^2+\left(x_2+3\right)^2+\left(y_2-4\right)^2=120}$

Εύκολα, από τα παραπάνω, έχουμε: $\displaystyle{3x_0-4y_0=5}$ .

Το μέσο $\displaystyle{M}$ της $\displaystyle{BC}$ κινείται στο εσωτερικό της χορδής $\displaystyle{KN}$ , η οποία βρίσκεται στην ευθεία $\displaystyle{(\epsilon): 3x-4y=5}$ .

Παρατηρούμε ότι η $\displaystyle{OA: y=-\dfrac{4}{3}x}$ είναι κάθετη στην $\displaystyle{KN}$ στο μέσο της $\displaystyle{S}$

Συνεπώς το ελάχιστο της διαμέσου $\displaystyle{AM= \mu_a}$ θα συμβεί όταν το $\displaystyle{M}$ θα βρεθεί στη θέση του $\displaystyle{S}$ και

θα είναι ίσο με $\displaystyle{d(A,\epsilon) =...=6}$ .

Από τη σχέση $\displaystyle{\boxed{120=2\mu_a^2+\dfrac{a^2}{2}}}$ έχουμε το μέγιστο της $\displaystyle{BC=a}$ το οποίο θα είναι: $\displaystyle{4\sqrt{6}$ .

Προφανώς $\displaystyle{BC// x'x}$ όταν το σημείο $\displaystyle{M}$ θα περάσει από το σημείο στο οποίο η $\displaystyle{KN}$ τέμνει τον $\displaystyle{y'y}$ .

Ακόμη,
δεν έχουμε άλλα ακρότατα αφού $\displaystyle{BC\rightarrow 0}$ όταν το $\displaystyle{M}$ τείνει στα σημεία $\displaystyle{K}$ ή $\displaystyle{N}$ .

Γεωμετρικές ακρότητες

Γεωμετρικές ακρότητες

Re: Γεωμετρικές ακρότητες

Μέλη σε σύνδεση