Λόγος ανίκατε μάχαν

#1

: Λόγος ανίκατε μάχαν.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές

Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD

με

και

σημείο της

ώστε

Η προέκταση

της

τέμνει την

στο

Αν η

είναι διχοτόμος του τριγώνου ACD,

να βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{BC}.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 13, 2025 10:49 am
Λόγος ανίκατε μάχαν.png
Δίνεται παραλληλόγραμμο με και σημείο της ώστε Η προέκταση

της τέμνει την στο Αν η είναι διχοτόμος του τριγώνου να βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{BC}.$

Επειδή

και

το

είναι ισοσκελές τραπέζιο και το τρίγωνο

ACZ

προφανώς είναι ισοσκελές άρα ZC=b

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών τα τρίγωνα ABC,FCZ

θα είναι ίσα,άρα $\angle BAC= \theta$

Έτσι,η

εφάπτεται του κύκλου (A,Z,C)

οπότε $b^2=a(a+b) \Rightarrow x^2-x-1=0$

(όπου $x= \dfrac{b}{a}$ ) με δεκτή λύση $x= \dfrac{1+ \sqrt{5} }{2} = \Phi$

: Λόγος ανίκατε μάχαν.png (44.73 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές

Dimessi · #3

Είναι $FC \parallel AB \overset{AE=EB} \Rightarrow AF=BC.$ Οπότε $\angle CAD=\angle ACB=\angle B=\angle BAF \Rightarrow \angle BAC=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2} \angle ABC,$ άρα $\angle ABC=\angle ACB=72^\circ$ και $\angle BAC=36^\circ.$ Οπότε $\frac{AB}{BC}=\Phi .$

: Χρυσός.png (15.87 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές

duamba · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 13, 2025 10:49 am
Δίνεται παραλληλόγραμμο με και σημείο της ώστε
Η προέκταση της τέμνει την στο
Αν η είναι διχοτόμος του τριγώνου να βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{BC}.$

: logos-anikate-maxan.png (31.09 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές

Τα τρίγωνα $\triangle ABE$ και $\triangle CFE$ είναι όμοια λόγω εντός εναλλάξ γωνιών.
Τα $\triangle AEF$ και $\triangle BEC$ είναι ίσα απο ΠΓΠ.
Απο το παραλληλόγραμμο $ABCD: \triangle ABC = \triangle ACD$
Απο το ισοσκελές τραπέζιο $ABCF: \triangle ABC = \triangle ABF$
άρα $\angle AFE = \angle ADF$ και απο ΓΠΓ είναι $\triangle AEF = \triangle AFD$

Καταλήγω με τις ισότητες τμημάτων και γωνιών που φαίνονται (μερικώς) στο σχήμα.

Έστω AB = a, AD = b, DF = c

.
Tότε $AB = AC \Rightarrow a = b + c$ .

$\frac{a}{b} = \frac{b+c}{b} = \frac{b}{c} = \frac{2b+c}{b+c} = \frac{b}{b+c}+1 = \frac{b}{a}+1$
Άρα $\frac{a}{b} = \frac{b}{a} + 1 \Leftrightarrow a^2-ab-b^2=0 \Rightarrow a = b\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

και τελικά $\boxed {\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} = \varphi}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #5

Την Καλημέρα μου σε φίλους!

: Λόγε ανίκατε μάχαν! .png (206.28 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές

Το τρίγωνο ABC

, όπως αποδείχθηκε, είναι του τύπου $(36^{0},72^{0},72^{0})$ με την

διχοτόμο του.

Συνεπώς ισχύει $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AE}{EC}\Leftrightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b-a}$

που είναι ο ορισμός (κατά τον Ευκλείδη) της διαίρεσης τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο.

Ο ζητούμενος λοιπόν λόγος είναι $\dfrac{AB}{BC}=\Phi$ , δηλ. χρυσός και .. ανίκητος!

Φιλικά, Γιώργος.

Λόγος ανίκατε μάχαν

Λόγος ανίκατε μάχαν

Re: Λόγος ανίκατε μάχαν

Re: Λόγος ανίκατε μάχαν

Re: Λόγος ανίκατε μάχαν

Re: Λόγος ανίκατε μάχαν

Μέλη σε σύνδεση