Ενδιαφέρουσα αναμέτρηση

KARKAR · #1

: Ενδιαφέρουσα αναμέτρηση.png (21.82 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές

Από το ίχνος της διχοτόμου

του οξυγωνίου τριγώνου ABC

φέρουμε κάθετη

προς την

,

η οποία τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Να συγκριθεί το τμήμα

με την βάση

.

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 05, 2025 10:01 am
Ενδιαφέρουσα αναμέτρηση.pngΑπό το ίχνος της διχοτόμου του οξυγωνίου τριγώνου φέρουμε κάθετη προς την ,

η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Να συγκριθεί το τμήμα με την βάση .

Ωραίο θέμα

Στο τρίγωνο SBC

θα συγκριθούν οι γωνίες $\hat{SBC},\hat{BSC}$ $DT\perp AC,DN\perp AB,DT=DN,\hat{DTA}=\omega =\hat{DTN},\hat{TDC}=\varphi ,\hat{BSC}=\theta ,\hat{B}=90-2\omega +\phi ,\hat{CBS}=90+2\omega -\phi ,\theta +\hat{CSP}=2\omega +\theta -\hat{\varphi }=90-\omega \Leftrightarrow \theta =90-3\omega +\varphi ,$

Θα εξετάσουμε αν ισχύει η ανισότητα $\hat{\theta }< 90+2\omega -\hat{\varphi }\Leftrightarrow 2\varphi < 5\omega (*)$
Το τρίγωνο ABC

είναι οξυγώνειο αρα $B< 90\Leftrightarrow \varphi < 2\omega ,2\varphi < 4\omega < 5\omega$ που είναι η σχέση (*)

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 05, 2025 10:01 am
Ενδιαφέρουσα αναμέτρηση.pngΑπό το ίχνος της διχοτόμου του οξυγωνίου τριγώνου φέρουμε κάθετη προς την ,

η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Να συγκριθεί το τμήμα με την βάση .

Με $AQ \bot BC \Rightarrow \angle QAC< \angle BAC \Rightarrow 90^0- \angle QAC>90^0- \angle BAC \Rightarrow \omega > \phi$

κι επειδή οι γωνίες $\omega , \phi$ είναι οξείες, $sin \omega >sin \phi \Rightarrow \dfrac{DT}{DC}> \dfrac{DP}{DS} \Rightarrow DS>DC$

$\dfrac{(DBS)}{(DCT)}= \dfrac{DB.DS}{DT.DC}= \dfrac{DB}{DT}. \dfrac{DS}{DC}= \dfrac{DB}{DP}. \dfrac{DS}{DC} >1 \Rightarrow (DBS)>(DCT)$

Επομένως (AST)>(ABC)

οπότε $\dfrac{AT.ST}{BC.AQ} >1 \Rightarrow \dfrac{ST}{BC}> \dfrac{AQ}{AT}$

Αλλά $\angle QAD, DAT=\dfrac{A}{2}$ οξείες με $\angle QAD < \dfrac{A}{2}$

Έτσι $\Rightarrow cos \angle QAD>cos \angle DAT \Rightarrow \dfrac{AQ}{AD}> \dfrac{AT}{AD} \Rightarrow AQ>AT \Rightarrow \dfrac{AQ}{AT} >1$

Επομένως $\dfrac{ST}{BC}>1 \Rightarrow ST>BC$

: Ενδιαφέρουσα αναμέτρηση.png (31.04 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές

Ενδιαφέρουσα αναμέτρηση

Ενδιαφέρουσα αναμέτρηση

Re: Ενδιαφέρουσα αναμέτρηση

Re: Ενδιαφέρουσα αναμέτρηση

Μέλη σε σύνδεση