Ακανθότοπος

KARKAR · #1

: Ακανθότοπος.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 896 φορές

Στην διάμετρο

ενός ημικυκλίου βρίσκεται σημείο

, τέτοιο ώστε : AP=3 , PB=7

.

Σημείο

κινείται στο τόξο. Στην προέκταση του

θεωρούμε σημείο

, ώστε : $QT=\dfrac{AQ}{2}$ .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής

των τμημάτων :

και :

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 16, 2025 9:42 am
Ακανθότοπος.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου βρίσκεται σημείο , τέτοιο ώστε : .

Σημείο κινείται στο τόξο. Στην προέκταση του θεωρούμε σημείο , ώστε : $QT=\dfrac{AQ}{2}$ .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των τμημάτων : και : .

Θεωρώ σημείο

της διαμέτρου AB,

ώστε

και θέτω

Από τις παραλληλίες έχω:

: Ακανθότοπος.png (21.47 KiB) Προβλήθηκε 889 φορές

$\displaystyle \frac{{SN}}{{3x}} = \frac{y}{3} \Leftrightarrow SN = xy$ ΚΑΙ $\displaystyle \frac{{SN}}{{2x}} = \frac{{BN}}{{BA}} \Leftrightarrow \frac{{xy}}{{2x}} = \frac{{7 + y}}{{10}} \Leftrightarrow y = \frac{7}{4}.$

Άρα το

βλέπει το σταθερό ευθύγραμμο τμήμα $NB=\dfrac{35}{4}$ υπό γωνία $90^\circ,$

οπότε θα κινείται στο κόκκινο ημικύκλιο του σχήματος διαμέτρου NB.

ΥΓ. Αγνοήστε το χαραγμένο τμήμα PQ στο σχήμα.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 16, 2025 9:42 am
Στην διάμετρο ενός ημικυκλίου βρίσκεται σημείο , τέτοιο ώστε : .

Σημείο κινείται στο τόξο. Στην προέκταση του θεωρούμε σημείο , ώστε : $QT=\dfrac{AQ}{2}$ .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των τμημάτων : και : .

Από Μενέλαο στο τρίγωνο AQS

με διατέμνουσα την TSP

έχουμε $\dfrac {QT}{TA}\cdot \dfrac {AP}{PB}\cdot \dfrac {BS}{SQ}=1$ , δηλαδή

$\dfrac {x}{3x}\cdot \dfrac {3}{7}\cdot \dfrac {BS}{SQ}=1$ . Άρα $\dfrac {BS}{SQ}=7$ από όπου $\dfrac {BS}{BQ}=\dfrac {BS}{BS+SQ}=\dfrac {7}{1+7}$ , και άρα $BS= \dfrac {7}{8}BQ$ (σταθερό πολλαπλάσιο του

).

Έπεται ότι το

κινείται σε ομοιόθετο προς το AQB

ημικύκλιο με κέντρο ομοιοθεσίας το

(το κόκκινο).

Εννοείται ότι το αποτέλεσμα γενικεύεται όταν, όπως εδώ, QT:AQ=

σταθερό.
.

Ακανθότοπος

Ακανθότοπος

Re: Ακανθότοπος

Re: Ακανθότοπος

Μέλη σε σύνδεση