Τι τύχη !

KARKAR · #1

: Τι τύχη !.png (8.03 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

Στις πλευρές AB , AC

, του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, θεωρούμε τυχόντα σημεία P , T

αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των BC , PT

, τέμνονται στο σημείο

. Υπολογίστε την διαφορά : $\dfrac{BS}{BP}-\dfrac{CS}{CT}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 19, 2025 6:00 am
Τι τύχη !.pngΣτις πλευρές , του ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε τυχόντα σημεία αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την διαφορά : $\dfrac{BS}{BP}-\dfrac{CS}{CT}$ .

.
Αν θέσουμε $\angle S = \theta$ , τότε οι γωνίες του τριγώνου BSP

είναι $60,\, \theta, \, 120-\theta$ και του CST

είναι $120,\, \theta, \, 60-\theta$ . Από τον Νόμο των Ημιτόνων στα δύο αυτά τρίγωνα έχουμε

$\displaystyle{\dfrac{BS}{BP}-\dfrac{CS}{CT} = \dfrac{\sin (120 - \theta) }{\sin \theta }-\dfrac{\sin (60 - \theta) }{\sin \theta} = }$

$\displaystyle{=\dfrac{ \left ( \dfrac {\sqrt 3}{2} \cos \theta + \dfrac {1}{2} \sin \theta \right ) - \left ( \dfrac {\sqrt 3}{2} \cos \theta - \dfrac {1}{2} \sin \theta \right )}{\sin \theta }= 1}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 19, 2025 6:00 am
Τι τύχη !.pngΣτις πλευρές , του ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε τυχόντα σημεία αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την διαφορά : $\dfrac{BS}{BP}-\dfrac{CS}{CT}$ .

Αλλιώς. Φέρνω PE//AC.

: Τι τύχη!.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

$\displaystyle \frac{{BS}}{{BP}} - \frac{{CS}}{{CT}} = \frac{{BS}}{{BP}} - \frac{{SE}}{{EP}} = \frac{{BS}}{{BP}} - \frac{{SE}}{{BP}} = \frac{{BS - SE}}{{BP}} = \frac{{BE}}{{BP}} = 1$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 19, 2025 6:00 am
Τι τύχη !.pngΣτις πλευρές , του ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε τυχόντα σημεία αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την διαφορά : $\dfrac{BS}{BP}-\dfrac{CS}{CT}$ .

Ας είναι μονάδα μέτρησης η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου , ABC

. Ακόμα : $PB = x\,\,,\,TS = y\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS = z$

Το θεώρημα του Μενέλαου στο τρίγωνο αυτό με διατέμνουσα την ευθεία , $\overline {PTS}$ δίδει :
.

: Τι τυχη.png (10.16 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

.
$\dfrac{{AP}}{{PB}} \cdot \dfrac{{BS}}{{SC}} \cdot \dfrac{{CT}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{1 - x}}{x} \cdot \dfrac{{1 + z}}{z} \cdot \dfrac{y}{{1 - y}} = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{y\left( {z + 1} \right)}}{{y + z}}$ . την τιμή αυτή αντικαθιστώ στην διαφορά που θέλω :

$d = \dfrac{{BS}}{{BP}} - \dfrac{{CS}}{{CT}} = \dfrac{{1 + z}}{x} - \dfrac{z}{y}$ και μετά τις (απλές πράξεις ) , d = 1

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 19, 2025 6:00 am
Τι τύχη !.pngΣτις πλευρές , του ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε τυχόντα σημεία αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την διαφορά : $\dfrac{BS}{BP}-\dfrac{CS}{CT}$ .

Χρόνια πολλά και καλά σε όλους!

Με AQ//PS

είναι $\dfrac{BS}{BP}= \dfrac{BQ}{a}$ και $\dfrac{CS}{CT}= \dfrac{CQ}{a}$ . Άρα $\dfrac{BS}{BP}- \dfrac{CS}{CT}= \dfrac{BQ}{a}- \dfrac{CQ}{a}= \dfrac{a}{a}=1$

: Τι τύχη !.png (16.34 KiB) Προβλήθηκε 455 φορές

KARKAR · #6

Το καλό πράμα αργεί να γίνει !

#7

Ας δούμε και την εξής ισοδύναμη μορφή της άσκησης (της οποίας η αρχική είναι πόρισμα, και το ανάποδο). Βγαίνει με πολλούς και απλούς τρόπους.

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $\angle A =120^o$ . Αν

η διχοτόμος της γωνίας

, δείξτε ότι ισχύει $\dfrac {1}{b} + \dfrac {1}{c}= \dfrac {1}{d}$

#8

Δείτε εδώ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 21, 2025 10:15 am
Ας δούμε και την εξής ισοδύναμη μορφή της άσκησης (της οποίας η αρχική είναι πόρισμα, και το ανάποδο). Βγαίνει με πολλούς και απλούς τρόπους.

Δίνεται τρίγωνο με $\angle A =120^o$ . Αν η διχοτόμος της γωνίας , δείξτε ότι ισχύει $\dfrac {1}{b} + \dfrac {1}{c}= \dfrac {1}{d}$

Είναι $\angle DAC+BAC=180^0$ και $\angle DAB+BAC=180^0$

Επομένως $\dfrac{(DAC)}{(ABC)} + \dfrac{(DAB)}{(ABC)} =1 \Rightarrow \dfrac{bd}{bc}+ \dfrac{dc}{bc}=1 \Rightarrow \dfrac{1}{c}+ \dfrac{1}{b}= \dfrac{1}{d}$

: 2.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές

Τι τύχη !

Τι τύχη !

Re: Τι τύχη !

Re: Τι τύχη !

Re: Τι τύχη !

Re: Τι τύχη !

Re: Τι τύχη !

Re: Τι τύχη !

Re: Τι τύχη !

Re: Τι τύχη !

Μέλη σε σύνδεση