Δύο ίσον ένα

KARKAR · #1

: Δύο ίσον ένα.png (23.97 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

Σε κύκλο

είναι εγγεγραμμένο το ορθογώνιο ABCD

και έστω

τα μέσα των πλευρών του AD , BC

αντίστοιχα . Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει τον κύκλο στο

. Η

τέμνει την ευθεία

στο

,

ενώ η

, τέμνει την

στο

. Αν

, υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 01, 2025 2:00 pm
Δύο ίσον ένα.pngΣε κύκλο είναι εγγεγραμμένο το ορθογώνιο και έστω τα μέσα των πλευρών του

αντίστοιχα . Η παράλληλη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο . Η τέμνει την ευθεία στο ,

ενώ η , τέμνει την στο . Αν , υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .

: Δύο ίσον ένα.png (23.15 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 01, 2025 2:00 pm
Δύο ίσον ένα.pngΣε κύκλο είναι εγγεγραμμένο το ορθογώνιο και έστω τα μέσα των πλευρών του

αντίστοιχα . Η παράλληλη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο . Η τέμνει την ευθεία στο ,

ενώ η , τέμνει την στο . Αν , υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .

: Δυο ίσον ένα.png (31.05 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

${x^2} + {y^2} = 9\,\,\left( 1 \right)$ . $\vartriangle ABD \approx \vartriangle BST$ με λόγο ομοιότητας , $\dfrac{{BS}}{{AB}} = \dfrac{{ST}}{{BD}} = \dfrac{{BT}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{{BS}}{{2x}} = \dfrac{{ST}}{6} = \dfrac{{2k}}{{2y}} = \dfrac{k}{y}\,\,\,\left( 2 \right)$

Αλλά $PC = CE = EM = ST = 3k\,\,\left( 3 \right)$ και Π. Θ. στο $\vartriangle BTS$ , $B{S^2} = 9{k^2} - 4{k^2} = 5{k^2} \Rightarrow BS = k\sqrt 5$ κι έτσι y = 2

. κ.λ.π.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 01, 2025 2:00 pm
Δύο ίσον ένα.pngΣε κύκλο είναι εγγεγραμμένο το ορθογώνιο και έστω τα μέσα των πλευρών του

αντίστοιχα . Η παράλληλη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο . Η τέμνει την ευθεία στο ,

ενώ η , τέμνει την στο . Αν , υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .

Προφανώς η

περνά από το

Mε

και

θα είναι

,

μέσον της

και με

μέσον της

όλα

τα πράσινα τμήματα είναι παράλληλα μεταξύ τους.

Άρα $m= \dfrac{MB}{6}= \dfrac{ND}{6}$ κι από CN.NB=SN.ND

παίρνουμε εύκολα $\dfrac{1}{6}( \dfrac{b^2}{4}+a^2 ) = \dfrac{b^2}{4}$

Ακόμη a^2+b^2=36

κι από τη λύση του συστήματος έχουμε b=4

και $\alpha =2 \sqrt{5}$

: Δύο ίσον ένα.png (78.56 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 01, 2025 2:00 pm
Δύο ίσον ένα.pngΣε κύκλο είναι εγγεγραμμένο το ορθογώνιο και έστω τα μέσα των πλευρών του

αντίστοιχα . Η παράλληλη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο . Η τέμνει την ευθεία στο ,

ενώ η , τέμνει την στο . Αν , υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .

Έστω

Προεκτείνω την

κατά τμήμα SQ=BT

και θέτω

οπότε

και

Προφανώς τα S, N, D

είναι συνευθειακά κι επειδή EC=EN

και

θα είναι $\displaystyle CN//PQ \Leftrightarrow \frac{{NB}}{{PQ}} = \frac{{NS}}{{SQ}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow PQ = b$ και BQ=3x

: Δύο ίσον ένα.png (24.54 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές

Με Πυθαγόρειο διαδοχικά στα τρίγωνα SBT

και

βρίσκω πρώτα SB^2=5x^2

και στη συνέχεια $x^2=\dfrac{2}{3}$

$\displaystyle DN \cdot NS = CN \cdot NB \Leftrightarrow 6{x^2} = \frac{{{b^2}}}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{b=4}$ και $\boxed{a=2\sqrt 5}$

Δύο ίσον ένα

Δύο ίσον ένα

Re: Δύο ίσον ένα

Re: Δύο ίσον ένα

Re: Δύο ίσον ένα

Re: Δύο ίσον ένα

Μέλη σε σύνδεση