Διάμεσος και πλευρά ίσες

#1

: Διάμεσος ίση με πλευρά.png (14.96 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Έστω

το μέσο της πλευράς

ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=AC).

Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία

A, B, M

τέμνει την

στο

Αν

να υπολογίσετε το $\cos A$ και να αποδείξετε ότι BM=AB.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 30, 2024 1:35 pm
Διάμεσος ίση με πλευρά.png
Έστω το μέσο της πλευράς ισοσκελούς τριγώνου Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία

τέμνει την στο Αν να υπολογίσετε το $\cos A$ και να αποδείξετε ότι

Με

συμμετρικό του

ως προς

το

είναι παραλ/μμο και AD=DE

Λόγω της παραλληλίας AE//BC

,του εγγράψιμμου AMDB

και του ισοσκελούς τριγώνου ADE

, όλες

οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, οπότε BM=AB=c

$cosA= \dfrac{AN}{c}= \dfrac{ \dfrac{c}{4} }{c}= \dfrac{1}{4}$

: διάμεσος και πλευρά ίσες.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 30, 2024 1:35 pm
Διάμεσος ίση με πλευρά.png
Έστω το μέσο της πλευράς ισοσκελούς τριγώνου Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία

τέμνει την στο Αν να υπολογίσετε το $\cos A$ και να αποδείξετε ότι

Θέτω: $AD = 4k \Rightarrow DM = 2k\,\,$ . Ας είναι

το μέσο του

άρα

. Έστω δε

.

Αφού το AB = AC

και το

είναι εγγράψιμο τετράπλευρο , το $\vartriangle DCM \approx \vartriangle ABC$ . Άμεσες συνέπειες :

$DN = NC = k\,\,\left( 1 \right)\,\,$ , οι πράσινες γωνίες ίσες οπότε AB = AM

. Μένει ο υπολογισμός.

: Διάμεσος και πλευρά ίσες.png (25.92 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές

Από το 1ο θεώρημα των διαμέσων στο $\vartriangle MDC$ και μετά Θ. συνημίτονου έχω :

$\left\{ \begin{gathered} {\left( {2k} \right)^2} + {m^2} = 2{\left( {2k} \right)^2} + 2{k^2} \hfill \\ \cos A = \frac{{{{\left( {2k} \right)}^2} + {{\left( {2k} \right)}^2} - {m^2}}}{{8{k^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} = 6{k^2} \hfill \\ \cos A = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

#4

Αλλιώς. Έστω N, P

τα μέσα των AD, MN.

$\displaystyle N\widehat MD = M\widehat DC = \widehat A \Leftrightarrow \cos A = \frac{{MP}}{{MD}} = \frac{{\frac{{CD}}{4}}}{{MD}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{CD = MD}$ $\boxed{\cos A=\frac{1}{4}}$

: Διάμεσος ίση με πλευρά.β.png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

$\displaystyle C\widehat DA = M\widehat DB,D\widehat AC = D\widehat BM,CD = MD,$ άρα τα τρίγωνα DAC, DBM

είναι ίσα και $\boxed{BM=AC=AB}$

Διάμεσος και πλευρά ίσες

Διάμεσος και πλευρά ίσες

Re: Διάμεσος και πλευρά ίσες

Re: Διάμεσος και πλευρά ίσες

Re: Διάμεσος και πλευρά ίσες

Μέλη σε σύνδεση