Συνευθειακά 21

KARKAR · #1

: Συνευθειακά 21.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 957 φορές

Σημείο

βρίσκεται πάνω στη διάμετρο

ενός ημικυκλίου . Από το μέσο

του

φέρουμε το

κάθετο τμήμα

στη διάμετρο και το εφαπτόμενο τμήμα

προς το ημικύκλιο διαμέτρου

.

Δείξτε ότι τα σημεία A , T , N

είναι συνευθειακά .

Henri van Aubel · #2

Θεωρούμε ότι η

επανατέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

Είναι $\angle SQM=90^\circ-\angle NQM=90^\circ-\angle NSM=90^\circ-\angle ABN$ , αφού το τετράπλευρο NQSM

είναι εγγράψιμο ( $\angle AQS=90^\circ$ ως εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο). Εξάλλου, $\angle ANB=90^\circ$ (ως εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο), επομένως $\angle QAS=90^\circ-\angle ABN$ και συνεπώς $\angle SQM=\angle QAS$ , επομένως η

εφάπτεται του ημικυκλίου διαμέτρου

, όπως θέλαμε.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 31, 2023 12:07 pm
Συνευθειακά 21.pngΣημείο βρίσκεται πάνω στη διάμετρο ενός ημικυκλίου . Από το μέσο του φέρουμε το

κάθετο τμήμα στη διάμετρο και το εφαπτόμενο τμήμα προς το ημικύκλιο διαμέτρου .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Έστω

η προβολή του

στην

, τότε ως γνωστό η τετράδα : $\left( {A,S\backslash D,M} \right)$ είναι αρμονική,

οπότε και η δέσμη : $\left( {TA,TS\backslash TD,TM} \right)$ είναι αρμονική . Ενώ η

είναι εσωτερική διχοτόμος στο $\vartriangle TDM$ .

: Συνευθειακά 21.png (16.18 KiB) Προβλήθηκε 921 φορές

Επειδή : $M{T^2} = MS \cdot MA = MB \cdot MA = M{N^2} \Rightarrow \boxed{MT = MN}$

Τώρα όμως θα είναι $\widehat {N_{}^{}} = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ και άρα $TS \bot \overline {NTF}$ οπότε η $\overline {NTF}$ διέρχεται από το

.

#4

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 31, 2023 3:27 pm
Θεωρούμε ότι η επανατέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου στο Είναι $\angle SQM=90^\circ-\angle NQM=90^\circ-\angle NSM=90^\circ-\angle ABN$ , αφού το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο ( $\angle AQS=90^\circ$ ως εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο). Εξάλλου, $\angle ANB=90^\circ$ (ως εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο), επομένως $\angle QAS=90^\circ-\angle ABN$ και συνεπώς $\angle SQM=\angle QAS$ , επομένως η εφάπτεται του ημικυκλίου διαμέτρου , όπως θέλαμε.

Ο Κ.

δίδει την εξής απλούστατη λύση :

Ας είναι

η τομή του

με το μικρό ημικύκλιο.

Επειδή : $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}$ ( το QSMN

εγγράψιμο) , $\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}}$ ( το ύψος στο ισοσκελές $\vartriangle NSB$ είναι και διχοτόμος ) , $\widehat {{\omega _3}} = \widehat {A_{}^{}}$ ( οξείες με πλευρές κάθετες ) , θα είναι :

: Συνευθειακά 21_Απο Henri.png (22.02 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

$\widehat {{\omega _1}} = \widehat {A_{}^{}}$ και άρα η

εφάπτεται του μικρού ημικυκλίου .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 31, 2023 12:07 pm
Συνευθειακά 21.pngΣημείο βρίσκεται πάνω στη διάμετρο ενός ημικυκλίου . Από το μέσο του φέρουμε το

κάθετο τμήμα στη διάμετρο και το εφαπτόμενο τμήμα προς το ημικύκλιο διαμέτρου .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Η μεσοκάθετη της

τέμνει την

στο

Επειδή οι γωνίες $\theta$ είναι προφανώς ίσες όπως και $\angle OTS= \angle TSO$ τα τρίγωνα KOT,TMS

είναι

όμοια οπότε $\dfrac{KO}{TM}= \dfrac{OT}{MS} (1)$

Ισχύει $MT^2=MS.MA=MB.MA=NM^2 \Rightarrow MT=NM$ και η (1)

$\Rightarrow \dfrac{KO}{NM}= \dfrac{OS}{MS} \Rightarrow \triangle KOS \simeq NMS \Rightarrow \angle \phi = \angle \theta \Rightarrow NTSM$ εγγράψιμμο ,οπότε $ST \bot NT \Rightarrow A,T,N$ συνευθειακά

: συνευθειακά 21.png (21.85 KiB) Προβλήθηκε 839 φορές

Συνευθειακά 21

Συνευθειακά 21

Re: Συνευθειακά 21

Re: Συνευθειακά 21

Re: Συνευθειακά 21

Re: Συνευθειακά 21

Μέλη σε σύνδεση