Εγγεγραμμένοι κύκλοι και ορθόκεντρο

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 21, 2023 12:18 am
Εγγεγραμμένοι κύκλοι και ορθόκεντρο..png

Εάν AD ύψος ορθογωνίου τριγώνου ABC (στο A) και O, O1, O2 τα κέντρα

των εγγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα ΑΒC, ΑΒD και ΑCD αντίστοιχα, να

αποδειχθεί ότι το Ο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΟ1 Ο2 και ότι ΑΟ = Ο1 Ο2.

$\angle CO_2A=90^0+ \dfrac{90^0}{2}=135^0 \Rightarrow \angle AO_2O=45^0$

$\angle AO_1B=90^0+ \dfrac{90^0}{2}=135^0 \Rightarrow \angle AO_1O=45^0$ κι επειδή

$\angle O_1AO_2=45^0$ θα είναι $O_1O \bot AO_2$ και $O_2O \bot AO_1$ επομένως

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου AO_1O_2

Το δεύτερο ζητούμενο είναι γνωστή πρόταση ( προκύπτει από την προφανή ισότητα των τριγώνων AOI,IO_1O_2

)

: εγγεγραμμένοι κύκλοι και ορθόκεντρο.png (30.7 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

#3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 21, 2023 12:18 am
Εγγεγραμμένοι κύκλοι και ορθόκεντρο..png

Εάν AD ύψος ορθογωνίου τριγώνου ABC (στο A) και O, O1, O2 τα κέντρα

των εγγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα ΑΒC, ΑΒD και ΑCD αντίστοιχα, να

αποδειχθεί ότι το Ο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΟ1 Ο2 και ότι ΑΟ = Ο1 Ο2.

Αντί για ${O_1}\,,\,{O_2}$ βάζο (για λόγους πληκτρολόγησης) , $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ .

$\boxed{\widehat {KAL} = 45^\circ }$ . Επειδή $\widehat {CBA} = \widehat {DAC} \Rightarrow \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \dfrac{{\widehat {B_{}^{}}}}{2}$ και έτσι $\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\omega _2}} = \dfrac{{\widehat {B_{}^{}}}}{2} + \dfrac{{\widehat {C_{}^{}}}}{2} = 45^\circ$ συνεπώς , $\widehat {ALO} = 45^\circ \Rightarrow LO \bot AK$ .

: Εγγεγραμμένοι κύκλοι και ορθόκεντρο.png (47.04 KiB) Προβλήθηκε 533 φορές

Ομοίως $KO \bot AL$ . Δηλαδή το

είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle AKL$ και αφού η γωνία της κορυφής

είναι $45^\circ$ θα είναι AO = KL

Εγγεγραμμένοι κύκλοι και ορθόκεντρο

Εγγεγραμμένοι κύκλοι και ορθόκεντρο

Re: Εγγεγραμμένοι κύκλοι και ορθόκεντρο

Re: Εγγεγραμμένοι κύκλοι και ορθόκεντρο

Μέλη σε σύνδεση