Ισόπλευρο πεντάγωνο

KARKAR · #1

: Ισόπλευρο πεντάγωνο.png (11.24 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Στο κυρτό ισόπλευρο πεντάγωνο ABCDE

, η κορυφή

, βρίσκεται πάνω στην μεσοκάθετη

της πλευράς

. Βρείτε το ελάχιστο άνω και το μέγιστο κάτω φράγμα , για τον λόγο : $\dfrac{AC}{CE}$

#2

Επαναφορά!

KARKAR · #3

Άλλη διατύπωση : Δείξτε ότι : $\dfrac{\sqrt{3}}{3}<\dfrac{AC}{CE}<\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ , με τον λόγο $\dfrac{AC}{CE}$ ,

να πλησιάζει όσο θέλουμε το άνω και το κάτω φράγμα . ( infimum και supremum )

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 24, 2025 9:24 am
Άλλη διατύπωση : Δείξτε ότι : $\dfrac{\sqrt{3}}{3}<\dfrac{AC}{CE}<\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ , με τον λόγο $\dfrac{AC}{CE}$ ,

να πλησιάζει όσο θέλουμε το άνω και το κάτω φράγμα . ( infimum και supremum )

Ας είναι μοναδιαίες οι πλευρές του ισόπλευρου πενταγώνου ABCDE,

και ας είναι $\beta =\angle ABC=\angle DEA$ και $\delta =\angle CDE=\angle BCD,$ οπότε βεβαίως $\angle EAB =3\pi-2\beta -2\delta ,$ και, από Νόμο Συνημιτόνων στο ABE,

$BE^2=2+2cos(2\beta +2\delta ).$ Ισχύει όμως -- βλέπε συνημμένο -- και η $BE=1-2cos\delta ,$ οπότε λαμβάνουμε την βασική ισότητα γωνιών

$cos(2\beta +2\delta )=\dfrac{4cos^2\delta -4cos\delta -1}{2}.$

Μέσω αυτής της ισότητας εκφράζουμε την γωνία $\beta$ ως συνάρτηση της γωνίας $\delta ,$

$\beta (\delta )=\pi +\dfrac{1}{2}arccos\left(\dfrac{4cos^2\delta -4cos\delta -1}{2}\right)-\delta ,$

οπότε από την παράγωγο προκύπτει εύκολα η διαισθητικά εύλογη μείωση της γωνίας $\beta$ όσο αυξάνεται η γωνία $\delta :$

$\beta '(\delta)=-\dfrac{2sin\delta (1-2cos\delta )}{\sqrt{4-(4cos^2\delta -4cos\delta -1)^2}}-1<0.$

H αρνητικότητα της παραγώγου προκύπτει από την $cos\delta\leq \dfrac{1}{4},$ καθώς η γωνία $\delta$ πράγματι μεταβάλλεται από την arccos(1/4),

όπου $\beta =\pi$ (ισοσκελές τρίγωνο), ως την $2\pi /3,$ όπου $\beta =\pi /3$ (ισοσκελές τραπέζιο).

Οι παραπάνω ακραίες τιμές των $\beta$ και $\delta$ δίνουν άμεσα τα ζητούμενα φράγματα, καθώς από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα BAC

και

προκύπτει άμεσα η $\left(\dfrac{AC}{CE}\right)^2=\dfrac{1-cos\beta}{1-cos\delta}$ ... και όσο ο παρονομαστής αυξάνεται ο αριθμητής μειώνεται (σύμφωνα και με τα παραπάνω), κλπ

: karkar-pentagons.png (22.59 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές

#5

Προς επίρρωση των ανωτέρω ... καταθέτω και ένα γράφημα της $\dfrac{AC}{CE}$ ως συνάρτησης της γωνίας $\delta$ ... έχοντας προσθέσει και το απαραίτητο $\pi$ στον τύπο της $\beta (\delta)$

: AC-CE.png (35.76 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές

Ισόπλευρο πεντάγωνο

Ισόπλευρο πεντάγωνο

Re: Ισόπλευρο πεντάγωνο

Re: Ισόπλευρο πεντάγωνο

Re: Ισόπλευρο πεντάγωνο

Re: Ισόπλευρο πεντάγωνο

Μέλη σε σύνδεση