Εφαπτομενική πρόοδος

KARKAR · #1

: Εφαπτομενική πρόοδος.png (7.21 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές

Α) Υπολογίστε την διάμετρο

, αν η πάνω ημιευθεία εφάπτεται και των δύο ημικυκλίων .

Β) Μπορούν τα μήκη των OA , AB , BC

, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ;

( Προφανώς για το δεύτερο ερώτημα ακυρώνονται τα μήκη του σχήματος ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 03, 2022 8:21 pm
Εφαπτομενική πρόοδος.pngΑ) Υπολογίστε την διάμετρο , αν η πάνω ημιευθεία εφάπτεται και των δύο ημικυκλίων .

Β) Μπορούν τα μήκη των , να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ;

( Προφανώς για το δεύτερο ερώτημα ακυρώνονται τα μήκη του σχήματος ) .

α) Φέρνουμε τις κάθετες ακτίνες στην κοινή εφαπτομένη. Σχηματίζονται δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα με κοινή κορυφή το

. Άρα (άμεσο)

$\displaystyle{ \dfrac {9+ \dfrac {d}{2} } { \dfrac {d}{2}} = \dfrac {9+ d +14 } { 14} }$ . Λύνοντας την δευτεροβάθμια, δηλαδή την d^2+9d-252=0

θα βρούμε

.

β) Με $a,\,b$ αντί για

και

έχουμε όμοια

$\displaystyle{ \dfrac {a+ \dfrac {d}{2} } { \dfrac {d}{2}} = \dfrac {a+ d +\dfrac {b}{2} } { \dfrac {b}{2}} }$ .

Άρα d^2+ad-ab=0

. Παρατηρούμε ότι η $d= \dfrac {1}{2}(a+b)$ δεν είναι ρίζα (ο έλεγχος άμεσος με αντικατάσταση) οπότε η απάντηση στο ερώτημα είναι αρνητική.

kfd · #3

Α.Από τα κέντρα των κύκλων φέρω κάθετες στην εφαπτομένη τους και από την ομοιότητα των 2 ορθογωνίων τριγώνων προκύπτει:
$\frac{9+\frac{d}{2}}{23+d}=\frac{d}{28}\Leftrightarrow d^{2}+9d-252=0\Leftrightarrow d=12.$
B.Aν ΟΑ=χ,ΒC=z είναι:
$\frac{x+\frac{d}{2}}{x+d+\frac{z}{2}}=\frac{d}{z}\Leftrightarrow \frac{2x+d}{2x+2d+z}=\frac{d}{z}\Leftrightarrow 2xz+dz=2xd+2d^{2}+dz\Leftrightarrow xz=xd+d^{2}\Leftrightarrow xz=x\cdot \frac{x+z}{2}+\frac{\left ( x+z \right )^{2}}{4}\Leftrightarrow 3x^{2}+z^{2}=0\Leftrightarrow x=z=0.$
Αν $\frac{x+d}{2}=z$ προκύπτει $x=2d,z=\frac{3d}{2}$ αποδεκτό.
Αν $x=\frac{d+z}{2}$ προκύπτει $z=\sqrt{3}\cdot d,x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\cdot d$ αποδεκτό.

#4

kfd έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 03, 2022 11:51 pm
Αν $\frac{x+d}{2}=z$ προκύπτει $x=2d,z=\frac{3d}{2}$ αποδεκτό.
Αν $x=\frac{d+z}{2}$ προκύπτει $z=\sqrt{3}\cdot d,x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\cdot d$ αποδεκτό.

Προσοχή, η άσκηση ζητά τα $OA,\, AB,\, BC$ να είναι διαδοχικοί όροι Αριθμητικής Προόδου, δηλαδή τα x,d,z

. Οπότε το ζητούμενο είναι $\dfrac {x+z}{2}=d$ και όχι αυτά που γράφεις.

kfd · #5

Θεώρησα ότι τα αναφερθέντα τμήματα δεν έχουν διαταχθεί, όπως στην συνθήκη διαδοχικών όρων Α.Π.

KARKAR · #6

: Εφαπτομενική β.png (12.56 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

Για να είμαι ειλικρινής , η απάντηση που περίμενα ήταν : "όχι , δεν γίνεται" . Συνήθως , όμως ,

το ερώτημα είναι : Μπορούν τα μήκη των OA , AB , BC

, με την σειρά που δίνονται ,

να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ; Τότε ασφαλώς θα απαντούσαμε : "όχι" .

Οπότε , η απάντηση του kfd

, γίνεται αποδεκτή και ιδού δύο σχήματα για τις λύσεις του

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 04, 2022 12:50 pm
το ερώτημα είναι : Μπορούν τα μήκη των , με την σειρά που δίνονται ,

να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ;

Νομίζω ότι περιττεύει το "με την σειρά που δίνονται" αφού μετά ακολουθεί το "διαδοχικοί όροι".

Για παράδειγμα αν ρωτάγαμε: Είναι οι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου; Η απάντηση είναι όχι. Τώρα, αν τους ανακατέψω ως 1,2,3

αυτόματα είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αλλά αυτό είναι άλλο ερώτημα.

Όπως και να είναι, αυτό που έχει πραγματική αξία είναι ότι χαρήκαμε την λύση του kfd ο οποίος βρήκε όλες τις περιπτώσεις αριθμητικής προόδου στο εν λόγω σχήμα. Αυτό μένει.

Εφαπτομενική πρόοδος

Εφαπτομενική πρόοδος

Re: Εφαπτομενική πρόοδος

Re: Εφαπτομενική πρόοδος

Re: Εφαπτομενική πρόοδος

Re: Εφαπτομενική πρόοδος

Re: Εφαπτομενική πρόοδος

Re: Εφαπτομενική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση