Συναρτόμενο τμήμα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ. Το θέμα που ακολουθεί έχει τον σκοπό του..

: 5-2 συναρτόμενο από το χ.png (97.37 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{A}=90^o$ . Θεωρούμε το $D \in AB$ ώστε $\widehat{BCD}=2\widehat{ACD}$ και

η προβολή του

στην

.

Αν είναι CD=1

και

τότε: Να εκφραστεί , ως συνάρτηση του , το τμήμα .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 05, 2022 4:39 pm
Χαιρετώ. Το θέμα που ακολουθεί έχει τον σκοπό του..
5-2 συναρτόμενο από το χ.png
Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^o$ . Θεωρούμε το $D \in AB$ ώστε $\widehat{BCD}=2\widehat{ACD}$ και η προβολή του στην .

Αν είναι και τότε: Να εκφραστεί , ως συνάρτηση του , το τμήμα .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Είναι $\displaystyle \cos \theta = b,\sin \theta = x$ και $\displaystyle C\widehat EA = C\widehat DA = 90^\circ - \theta \Rightarrow \sin (C\widehat EA) = \cos \theta.$

: Συναρτόμενο τμήμα.png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Ν. ημιτόνων στο CAE,

$\displaystyle \frac{{AE}}{{\sin 3\theta }} = \frac{b}{{\cos \theta }} = 1 \Leftrightarrow AE = \sin 3\theta = 3\sin \theta - 4{\sin ^3}\theta \Leftrightarrow$ $\boxed{ AE = 3x - 4{x^3}}$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 05, 2022 5:18 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 05, 2022 4:39 pm
Χαιρετώ. Το θέμα που ακολουθεί έχει τον σκοπό του..
5-2 συναρτόμενο από το χ.png
Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^o$ . Θεωρούμε το $D \in AB$ ώστε $\widehat{BCD}=2\widehat{ACD}$ και η προβολή του στην .

Αν είναι και τότε: Να εκφραστεί , ως συνάρτηση του , το τμήμα .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Είναι $\displaystyle \cos \theta = b,\sin \theta = x$ και $\displaystyle C\widehat EA = C\widehat DA = 90^\circ - \theta \Rightarrow \sin (C\widehat EA) = \cos \theta.$ Συναρτόμενο τμήμα.png
Ν. ημιτόνων στο $\displaystyle \frac{{AE}}{{\sin 3\theta }} = \frac{b}{{\cos \theta }} = 1 \Leftrightarrow AE = \sin 3\theta = 3\sin \theta - 4{\sin ^3}\theta \Leftrightarrow$ $\boxed{ AE = 3x - 4{x^3}}$

Το ίδιο μου προέκυψε και με άλλο τρόπο αλλά δεν συμφέρει ( με $x \in \left( {0,1} \right)$ )

: Συναρτόμενο τμήμα.png (13.14 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Πτολεμαίος στο τετράπλευρο ADEC

με : $AC = \sqrt {1 - {x^2}} \,\,,\,\,DE = 2x\sqrt {1 - {x^2}} \,\,,\,\,CE = 1 - 2{x^2}$ και προκύπτει:

$f(x) = x\left( {3 - 4{x^2}} \right)\,\,\,,x \in \left( {0,1} \right)$

#4

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 05, 2022 7:19 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 05, 2022 5:18 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 05, 2022 4:39 pm
Χαιρετώ. Το θέμα που ακολουθεί έχει τον σκοπό του..
5-2 συναρτόμενο από το χ.png
Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^o$ . Θεωρούμε το $D \in AB$ ώστε $\widehat{BCD}=2\widehat{ACD}$ και η προβολή του στην .

Αν είναι και τότε: Να εκφραστεί , ως συνάρτηση του , το τμήμα .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Είναι $\displaystyle \cos \theta = b,\sin \theta = x$ και $\displaystyle C\widehat EA = C\widehat DA = 90^\circ - \theta \Rightarrow \sin (C\widehat EA) = \cos \theta.$ Συναρτόμενο τμήμα.png
Ν. ημιτόνων στο $\displaystyle \frac{{AE}}{{\sin 3\theta }} = \frac{b}{{\cos \theta }} = 1 \Leftrightarrow AE = \sin 3\theta = 3\sin \theta - 4{\sin ^3}\theta \Leftrightarrow$ $\boxed{ AE = 3x - 4{x^3}}$
Το ίδιο μου προέκυψε και με άλλο τρόπο αλλά δεν συμφέρει ( με $x \in \left( {0,1} \right)$ )

Συναρτόμενο τμήμα.png

Πτολεμαίος στο τετράπλευρο με : $AC = \sqrt {1 - {x^2}} \,\,,\,\,DE = 2x\sqrt {1 - {x^2}} \,\,,\,\,CE = 1 - 2{x^2}$ και προκύπτει:

$f(x) = x\left( {3 - 4{x^2}} \right)\,\,\,,x \in \left( {0,1} \right)$

Έτσι ακριβώς το έκανα κι εγώ στην αρχή. Όταν όμως είδα το αποτέλεσμα $\displaystyle 3x - 4{x^3},$ μου θύμισε αμέσως το ημίτονο της τριπλάσιας γωνίας, οπότε και παρατήρησα ότι $\displaystyle x = \sin \theta,$ κλπ.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ στους φίλους!

Καιρός λοιπόν να κάνουμε φανερό τον επιδιωκόμενο σκοπό του θέματος. Στην ερώτηση:

Αν μπορούμε να δείξουμε τον τριγωνομετρικό τύπο $sin3\theta =3sin\theta -4sin^3\theta$

με χρήση του ως άνω σχήματος και τα Γεωμετρικά εργαλεία μας , τι θ' απαντούσαμε ; Ευχαριστώ και πάλι..

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 05, 2022 10:35 pm
Καλό βράδυ στους φίλους!

Καιρός λοιπόν να κάνουμε φανερό τον επιδιωκόμενο σκοπό του θέματος. Στην ερώτηση:

Αν μπορούμε να δείξουμε τον τριγωνομετρικό τύπο $sin3\theta =3sin\theta -4sin^3\theta$

με χρήση του ως άνω σχήματος και τα Γεωμετρικά εργαλεία μας , τι θ' απαντούσαμε ; Ευχαριστώ και πάλι..

Θα δείξω ότι AE=3x-4x^3

χρησιμοποιώντας μόνο Γεωμετρικά εργαλεία.

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

Είναι $\displaystyle E\widehat DC = 90^\circ - 2\theta \Leftrightarrow \omega = 90^\circ - \theta = C\widehat DA \Rightarrow HA = x.$

: Συναρτόμενο τμήμα.β.png (17.62 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

Άρα, $TH\bot CD$ και $\displaystyle 1 \cdot TH = 2xb = 2x\sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow HD = 4{x^2} - T{H^2} \Leftrightarrow HD = 2{x^2}$

Εξάλλου, $\displaystyle HD \cdot HC = HA \cdot HE \Leftrightarrow 2{x^2}(1 - 2{x^2}) = x(AE - x) \Leftrightarrow$ $\boxed{AE=3x-4x^3}$

Τέλος, με νόμο ημιτόνων (που είναι ανεξάρτητος από τους τύπους της διπλάσιας ή τριπλάσιας γωνίας) στο ADE,

$\displaystyle \frac{{AE}}{{\sin 3\theta }} = \frac{x}{{\sin \theta }} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{AE=\sin 3\theta}$ απ' όπου προκύπτει η αποδεικτέα σχέση.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 05, 2022 4:39 pm
Χαιρετώ. Το θέμα που ακολουθεί έχει τον σκοπό του..
5-2 συναρτόμενο από το χ.png
Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^o$ . Θεωρούμε το $D \in AB$ ώστε $\widehat{BCD}=2\widehat{ACD}$ και η προβολή του στην .

Αν είναι και τότε: Να εκφραστεί , ως συνάρτηση του , το τμήμα .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Θεωρούμε

διχοτόμο της $\angle DCB$ και $DN \bot CD$

Επειδή $\angle NAD= \angle DCN= \theta$ και $\angle EAD=2 \theta \Rightarrow \angle NAE= \theta$

άρα ANEC

εγγράψιμμο στον ίδιο κύκλο με το CADN

και προφανώς ADNE

υπερισοσκελές τραπέζιο

Με Πτολεμαίο στα CADN,AEND

έχουμε $2x \sqrt{1- x^{2} } =ED$ και ED^2=x^2+xAE

από τις οποίες εύκολα AE=3x-4x^3

Αλλά με ν.ημιτόνου στο τρίγωνο $AED\Rightarrow \dfrac{AE}{sin \hat{EDA} }= \dfrac{x}{sin \theta } \Rightarrow \dfrac{AE}{sin3 \theta } = \dfrac{sin \theta }{sin \theta }=1 \Rightarrow AE=sin3 \theta$

Επομένως $sin3 \theta =3sin \theta -4sin^3 \theta$

: sin3θ.png (238.16 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #8

Καλό βράδυ! Μαζί με τις θερμές ευχαριστίες μου προς τους Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη ας γράψω δυο σκέψεις.

Εθεσα σκοπίμως CD=1

ώστε το

να εκφράζει το $sin\theta$ και το AE=y

να είναι το $sin3\theta$ .
Αναμενόμενο λοιπόν να είναι 0<x<1

.

Θεωρώντας το νόμο των ημιτόνων ως εξέχον Γεωμετρικό εργαλείο, οι ως άνω λύσεις έχουν πλήρη Γεωμετρική κάλυψη.

Ας δούμε πάντως το τελευταίο βήμα απόδειξης και ως εξής:

Από το εγγράψιμο είναι $\widehat{DAE}=\widehat{DCE}=2\theta$ και τότε τα τρίγωνα BAE,BCD

είναι όμοια

συνεπώς $sin3\theta =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AE}{CD}=AE=3x-4x^{3}=3sin\theta -4sin^{3}\theta$

και ο σκοπός επετεύχθη! Φιλικά, Γιώργος.

Συναρτόμενο τμήμα

Συναρτόμενο τμήμα

Re: Συναρτόμενο τμήμα

Re: Συναρτόμενο τμήμα

Re: Συναρτόμενο τμήμα

Re: Συναρτόμενο τμήμα

Re: Συναρτόμενο τμήμα

Re: Συναρτόμενο τμήμα

Re: Συναρτόμενο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση