Μεγάλες κατασκευές 69

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 69.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Σε τρίγωνο ABC

, με πλευρές a,b,c

, το σημείο

κινείται στην πλευρά

.

α) Εντοπίστε σημείο

της

, ώστε η

να διχοτομεί την

, (

μέσο ) .

β) Εντοπίστε την θέση του

, για την οποία προκύπτει : (ABM)=(STC)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 01, 2021 12:15 pm
Μεγάλες κατασκευές 69.pngΣε τρίγωνο , με πλευρές , το σημείο κινείται στην πλευρά .

α) Εντοπίστε σημείο της , ώστε η να διχοτομεί την , ( μέσο ) .

β) Εντοπίστε την θέση του , για την οποία προκύπτει : .

Έστω $\displaystyle \frac{{AS}}{{SC}} = k,$ σταθερό.

: Μεγάλες κατασκευές 69.png (18.78 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές

α) Με θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο ATC

και διατέμνουσα $\displaystyle \overline {BMS}$ προκύπτει $\displaystyle \frac{{AS}}{{SC}} = \frac{{BT}}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{BT=ak}$

β) Αν h, x, y

τα ύψη των τριγώνων ABC, BMT, STC

αντίστοιχα, τότε, $\displaystyle x = \frac{h}{2},\frac{{AC}}{{SC}} = \frac{h}{y} \Leftrightarrow y = \frac{h}{{k + 1}}$

$\displaystyle (BMT) = (ABM) = (STC) \Leftrightarrow akx = a(1 - k)y \Leftrightarrow \frac{{akh}}{2} = \frac{{a(1 - k)h}}{{k + 1}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {k^2} + 3x - 2 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{k > 0}$ $\boxed{k=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 01, 2021 12:15 pm
Μεγάλες κατασκευές 69.pngΣε τρίγωνο , με πλευρές , το σημείο κινείται στην πλευρά .

α) Εντοπίστε σημείο της , ώστε η να διχοτομεί την , ( μέσο ) .

β) Εντοπίστε την θέση του , για την οποία προκύπτει : .

α)Αν $D\,\,$ το συμμετρικό του

ως προς το

, η από το

παράλληλη στην

τέμνει την

στο

.

β) Θέτω : $AS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = y$ , άρα AS = SD = x

. Ας πούμε ακόμα : $\left( {ABM} \right) = {N_1},\,\,\left( {STC} \right) = {N_2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {AMS} \right) = E$ .

Επειδή ο λόγος των εμβαδών ισουψών τριγώνων ισούται με το λόγο των βάσεων τους έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{x + y}} = \frac{{2E}}{{{N_2}}}\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ \frac{{BM}}{{MS}} = \frac{{{N_1}}}{E}\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Μεγάλες κατασκευές 69.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές

Από το Θ. Μενελάου στο $\vartriangle SBC$ με διατέμνουσα $\overline {AMT}$ έχω:

$\dfrac{{SM}}{{MB}} \cdot \dfrac{{BT}}{{TC}} \cdot \dfrac{{CA}}{{AS}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{MS}} = \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{{2x + y}}{x} \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{MS}} = \dfrac{{2x + y}}{y}\,\,\left( 3 \right)$ και οι $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ γράφονται.

$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{x}{{x + y}}\, = \dfrac{{2E}}{{{N_2}}}\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ \dfrac{{2x + y}}{y} = \dfrac{{{N_1}}}{E}\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Πολλαπλασιάζω κατά μέλη και έχω: $x\left( {2x + y} \right) = 2y\left( {x + y} \right)$ .

Η σχέση είναι ομογενής. Θέτω , $y = kx\,\,\,k,x > 0$ οπότε προκύπτει η εξίσωση :

$2{k^2} + k - 2 = 0 \Rightarrow k = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{4}$ , έτσι : $\boxed{SC = \dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{8}b}$ και προσδιορίζεται η θέση του

.

Μεγάλες κατασκευές 69

Μεγάλες κατασκευές 69

Re: Μεγάλες κατασκευές 69

Re: Μεγάλες κατασκευές 69

Μέλη σε σύνδεση