Μεγιστοποίηση άνευ όρων

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση άνευ όρων.png (15.84 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές

Το τμήμα

, είναι μεσοκάθετο του σταθερού AB=a

, όπως και του μεταβλητού

. Επίσης είναι :

$MN=\dfrac{a}{2}$ . Γράφουμε τον κύκλο : (N , S , T)

, κέντρου

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

.

Να υπολογισθεί το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου APK

, καθώς και το τότε μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 11, 2021 1:14 pm
Μεγιστοποίηση άνευ όρων.pngΤο τμήμα , είναι μεσοκάθετο του σταθερού , όπως και του μεταβλητού . Επίσης είναι :

$MN=\dfrac{a}{2}$ . Γράφουμε τον κύκλο : , κέντρου και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα .

Να υπολογισθεί το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου , καθώς και το τότε μήκος του τμήματος .

Θέτω

οπότε $SM=\dfrac{a}{2}-x.$

: Μεγιστοποίηση.K.png (18.79 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές

$\displaystyle A{P^2} = AS \cdot AT = x(a - x) \Leftrightarrow$ $\boxed{AP=\sqrt{x(a-x)}}$

Με Π. Θ στο SKM

κι επειδή $\displaystyle r = \frac{a}{2} - KM,$ βρίσκω με απαλοιφή του

ότι $\boxed{r = \frac{{2{x^2} - 2ax + {a^2}}}{{2a}}}$

$\displaystyle (APK) = \frac{{AP \cdot r}}{2} = \frac{{(2{x^2} - 2ax + {a^2})\sqrt {x(a - x)} }}{{4a}},$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων παίρνω

$\boxed{ {(APK)_{\max }} = \frac{{{a^2}}}{{6\sqrt 6 }}}$ για $\boxed{ x = \frac{{(3 - \sqrt 3 )a}}{6}}$

KARKAR · #3

Να' σαι καλά Γιώργο ! Φοβάμαι ότι θα ήταν προτιμότερο να ζητήσω αντί του

, το

Μεγιστοποίηση άνευ όρων

Μεγιστοποίηση άνευ όρων

Re: Μεγιστοποίηση άνευ όρων

Re: Μεγιστοποίηση άνευ όρων

Μέλη σε σύνδεση