Ωραία μετρική

KARKAR · #1

: Ωραία μετρική.png (13.08 KiB) Προβλήθηκε 824 φορές

Το ημικύκλιο διαμέτρου AKO=r

, βρίσκεται στο εσωτερικό του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r

.

Ευθεία διερχόμενη από το

, τέμνει τα ημικύκλια κατά σειρά , στα σημεία T , S

. Για ποια θέση του

,

προκύπτει : KS=TB

και πόσο είναι τότε , το μήκος του τμήματος

;

#2

: Ωραία μετρική_oritzin_ok.png (20.99 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Θέτω: $\boxed{AT = k\,,\,\widehat {BAS} = \theta \,\,,\,\,KS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB = y}$

Από Θ συνημίτονου στο $\vartriangle AKS$ και ορισμός συνημίτονου στο $\vartriangle TAO$ προκύπτει :

${x^2} = {r^2} + 2{k^2}\,\,\left( 1 \right)$

Από 1ο Θ διαμέσων στο $\vartriangle SAB$ και στο ίδιο τρίγωνο Π. Θ. προκύπτει : ${y^2} = 16{r^2} - 3{k^2}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Επειδή $x = y \Rightarrow k = r\sqrt 3 \Rightarrow \boxed{\theta = 30^\circ }$ και άρα $\boxed{x = y = r\sqrt 7 }$

Για πιο απλή εφαρμογή των θεωρημάτων αντί του συμβολισμού της ακτίνας όπως προτείνει Ο Θανάσης , έθεσα :

Λόγω του αποτελέσματος , εικάζω ότι υπάρχει λύση με λιγότερες ή και καθόλου μετρικές.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 20, 2021 7:01 am
Ωραία μετρική.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου , βρίσκεται στο εσωτερικό του ημικυκλίου διαμέτρου .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τα ημικύκλια κατά σειρά , στα σημεία . Για ποια θέση του ,

προκύπτει : και πόσο είναι τότε , το μήκος του τμήματος ;

Θέτω

: Ωραία μετρική.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές

$\displaystyle ST \cdot SA = S{K^2} - \frac{{{r^2}}}{4} \Leftrightarrow S{K^2} = \frac{{{r^2} + 8{x^2}}}{4}$ και με θ. διαμέσου στο ATB:

$\displaystyle B{T^2} + {x^2} = 2O{T^2} + 2{r^2} = 2({r^2} - {x^2}) + 2{r^2} \Leftrightarrow B{T^2} = 4{r^2} - 3{x^2}$

Από τις δύο αυτές σχέσεις είναι $\boxed{x = \frac{{r\sqrt 3 }}{2}}$ και $\boxed{SK = BT = \frac{{r\sqrt 7 }}{2}}$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Για μια Καλησπέρα σε φίλους του

Ας το δούμε λίγο γενικότερα.Το τρίγωνο BAS

έχει $\widehat{S}=90^o$ και O,T

τα μέσα των AB,AS

.

Το $K \in AB$ ώστε $\dfrac{BK}{AB}=\lambda$ . Αν KS=BT

θα βρούμε τη σχέση του $\eta \mu A$ με το $\lambda$ .

: 21-6 Ωραία μετρική.png (139.81 KiB) Προβλήθηκε 740 φορές

Με

έχουμε $BS=2R\eta \mu A$ . Ακόμη $ST=TA=R\sigma \upsilon \nu A$ και $BK=2R\lambda$

ενώ με τον Ν.Σ στο τρίγωνο BSK

παίρνουμε

$KS^2=BS^2+BK^2 -2BK\cdot BS\cdot \sigma \upsilon \nu B=..=4R^2\left ( \eta \mu ^2A +\lambda ^2 -2\lambda \cdot \eta \mu^2 A \right )$ .

Το Π.Θ δίνει $BT^2=BS^2 +ST^2=.. =R^2(3\eta \mu ^2A+1)$ και από KS=BT

προκύπτει

$4(\eta \mu ^2A +\lambda ^2 -2\lambda \cdot \eta \mu^2 A )=3\eta \mu ^2A+1 \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \eta \mu ^2A=\dfrac{1-4\lambda ^2}{1-8\lambda }$ με $\lambda \in \left ( \dfrac{1}{2},1 \right )$

Για $\lambda =3/4$ έχουμε $\eta \mu A=1/2...\widehat{A}=30^o$ δηλ την περίπτωση που έθεσε ο Θανάσης.

Φιλικά, Γιώργος.

Ωραία μετρική

Ωραία μετρική

Re: Ωραία μετρική

Re: Ωραία μετρική

Re: Ωραία μετρική

Μέλη σε σύνδεση