Μήκος τμήματος

KARKAR · #1

: Μήκος τμήματος.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 869 φορές

Στο πρώτο τεταρτημόριο σχεδιάσαμε το ακτίνας

, τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ . Με μία κορυφή το S(1,2)

σχεδιάσαμε ορθογώνιο SPQT

, (

σημεία του τόξου ) . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 04, 2021 8:02 am
Μήκος τμήματος.pngΣτο πρώτο τεταρτημόριο σχεδιάσαμε το ακτίνας , τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ . Με μία κορυφή το

σχεδιάσαμε ορθογώνιο , ( σημεία του τόξου ) . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: Μήκος τμήματος.Κ.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

Λόγω του ορθογωνίου είναι $\displaystyle O{S^2} + O{Q^2} = O{P^2} + O{T^2} \Leftrightarrow 5 + O{Q^2} = 36 + 36 \Leftrightarrow$ $\boxed{OQ = \sqrt {67}}$

Παρατήρηση: Με S(2,2)

θα είχαμε καλύτερο αποτέλεσμα.

KARKAR · #3

: Μήκος τμήματος.png (18.32 KiB) Προβλήθηκε 839 φορές

Δεν είμαι σίγουρος ότι το "λόγω του ορθογωνίου" , υπονοεί την χρήση του θεωρήματος της διαμέσου και την ισότητα

των διαγωνίων του ορθογωνίου . Όπως και να' χει , ζητείται ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου

του ορθογωνίου

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 04, 2021 10:19 am
Δεν είμαι σίγουρος ότι το "λόγω του ορθογωνίου" , υπονοεί την χρήση του θεωρήματος της διαμέσου και την ισότητα

των διαγωνίων του ορθογωνίου...

Ακριβώς! Είναι η άσκηση

από τις αποδεικτικές του σχολικού βιβλίου στην παράγραφο 9.6

για οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου,

ή αλλιώς όπως είναι ευρύτερα γνωστό British flag theorem (για εσωτερικό σημείο του ορθογωνίου). Η απόδειξη όμως είναι ίδια.

#5

Ας είναι $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ , το κέντρο του ορθογωνίου και το μέσο του σταθερού

.

Ταυτόχρονα θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} O{M^2} + M{S^2} = {R^2} - M{T^2} + M{T^2} = {R^2} \hfill \\ O{M^2} + M{S^2} = 2M{N^2} + \frac{{O{S^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Γιατί SM = MT = MP

και από το α Θ. διαμέσων στο $\vartriangle MOS$

: Μήκος τμήματος Karkar_4_1_2021.png (24.77 KiB) Προβλήθηκε 813 φορές

Αν

εξισώνω τα δεύτερα μέλη κι έχω: $2MN = \sqrt {2{R^2} - {d^2}}$ .

Αλλά $\boxed{MN// = \frac{{OQ}}{2} \Rightarrow OQ = 2MN = \sqrt {2{R^2} - {d^2}} }$

Παρατήρηση : Η άσκηση είναι παραλλαγή πολύ παλιάς άσκησης που είχε τεθεί τουλάχιστον 2 φορές στις τότε εισαγωγικές εξετάσεις για Α.Ε.Ι.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 04, 2021 10:19 am
Μήκος τμήματος.pngΔεν είμαι σίγουρος ότι το "λόγω του ορθογωνίου" , υπονοεί την χρήση του θεωρήματος της διαμέσου και την ισότητα

των διαγωνίων του ορθογωνίου . Όπως και να' χει , ζητείται ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου του ορθογωνίου

Ο γεωμετρικός τόπος είναι τόξο κύκλου και η Καρτεσιανή εξίσωσή του είναι: $\boxed{2{x^2} + 2{y^2} - 2x - 4y - 31 = 0}$

ή αλλιώς $\boxed{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {(y - 1)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt {67} }}{2}} \right)^2}}$ που σημαίνει ότι έχει κέντρο το μέσο του

και ακτίνα $\dfrac{OQ}{2}.$

Απόδειξη: Έστω Q(x_1,y_1), K(x,y).

Είναι $\displaystyle {y_1} = \sqrt {67 - {x_1}^2}$ και $\displaystyle x = \frac{{1 + {x_1}}}{2},y = \frac{{2 + \sqrt {67 - {x_1}^2} }}{2}.$ Με απαλοιφή τώρα του x_1

προκύπτει η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου.

Μήκος τμήματος

Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Μέλη σε σύνδεση