Μεγάλες κατασκευές 45

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 45.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 1137 φορές

Με υποτείνουσα BC=8

στην οποία βρίσκεται σημείο

, ώστε

, να κατασκευαστεί

ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, τέτοιο ώστε αν φέρουμε κάθετη της

στο

, η οποία να τέμνει

τους φορείς των πλευρών CA, BA

στα σημεία M,S

αντίστοιχα , το

να είναι το μέσο του

.

Διακαής επιθυμία του συγγραφέα η παρουσίαση τουλάχιστον τριών διαφορετικών λύσεων .

nickchalkida · #2

συμμετρικό του

ως προς

.

Manolis Petrakis · #3

Είναι $MAS \approx MTC$ έτσι $MΤ^2=MA\cdot MC$
Θεωρούμε σημείο

στο ευθύγραμμο τμήμα

τέτοιο ώστε MA=MA'

τότε: $MT^2=MA'\cdot MC$
$\Rightarrow TA' \perp MC$
Έτσι $CA'\cdot CM=4\Leftrightarrow (MC-MA)MC=4\Leftrightarrow MC^2-MA\cdot MC=4 \ (1)$
Ακόμη τα ABC,MTC

είναι όμοια $\Rightarrow CM\cdot CA=CT\cdot CB\Leftrigtarrow MC(MC+MA)=16\Leftrightarrow MC^2+MA\cdot MC=16 \ (2)$
$(1)+(2)\Rightarrow MC=\sqrt {10}\stackrel{(1)}{\Rightarrow} MΑ=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$
$\Rightarrow AC=MA+MC=\dfrac{8\sqrt{10}}{5}$
Με γνωστές τις AC,BC

το ορθογώνιο τρίγωνο είναι κατασκευάσιμο

#4

: μεγάλες κατασκευές 45_1.png (18.53 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

Κατασκευή-απόδειξη, προφανείς

Γιώργος Μήτσιος · #5

Για την Καλημέρα σε όλους και για τον πολυγραφότατο KARKAR

: Μ.Κ...45.png (67.08 KiB) Προβλήθηκε 1099 φορές

Αρκεί να υπολογιστεί το MT=MS=x

.Είναι $\dfrac{2x}{6}=tan\omega =\dfrac{2}{x}\Rightarrow x=\sqrt{6}$ ... Φιλικά, Γιώργος,

#6

Ανάλυση

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Γράφω τον κύκλο $\left( {S,B,C} \right)$ και ας είναι

η τομή της ημιευθείας

μ αυτόν.

Το

είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle SAC$ οπότε : SM = MT = TE = x

.

Επειδή $TB \cdot TC = TS \cdot TE \Rightarrow 12 = 2{x^2} \Rightarrow {x^2} = 6 \Rightarrow \boxed{C{M^2} = 10}$ .

Κατασκευή .

: μεγάλες κατασκευές 45_3.png (18.25 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

Στην προέκταση της

προς το

θεωρώ το σημείο

με

.

Υψώνω κάθετη σ αυτή στο

,

. Προφανώς $\boxed{C{L^2} = 9 + 1 = 10}$

Γράφω τον κύκλο $\left( {C,CL} \right)$ και τέμνει στο

την εις στο

κάθετη της

.

Αφού λοιπόν προσδιορίζω το

τα υπόλοιπα απλά .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 29, 2020 8:52 pm
Μεγάλες κατασκευές 45.pngΜε υποτείνουσα στην οποία βρίσκεται σημείο , ώστε , να κατασκευαστεί

ορθογώνιο τρίγωνο , τέτοιο ώστε αν φέρουμε κάθετη της στο , η οποία να τέμνει

τους φορείς των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα , το να είναι το μέσο του .

Διακαής επιθυμία του συγγραφέα η παρουσίαση τουλάχιστον τριών διαφορετικών λύσεων .

Κατασκευή

: μεγάλες κατασκευές 45_4.png (20.17 KiB) Προβλήθηκε 1093 φορές

Στο

, επί την

, φέρνω κάθετη ευθεία ${g_1}$ . Με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής $\boxed{{k^2} = 10}$ , η ευθεία αυτή μετασχηματίζεται σε κύκλο .

Ας είναι

ένα απ τα σημεία τομής του κύκλου αυτού με την ${g_1}$ .

Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

και την ${g_1}$ στο

.

#8

: Μεγάλες κατασκευές.45.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 1081 φορές

Σύμφωνα με αυτήν $\displaystyle S{T^2} = 2 \cdot 6 \cdot 2 \Leftrightarrow ST = 2\sqrt 6$

KARKAR · #9

: 45.png (12.17 KiB) Προβλήθηκε 1074 φορές

Ευχαριστώ ! Μήπως μπορείτε να εξηγήσετε και την κατασκευή του παραπάνω σχήματος ;

nickchalkida · #10

Μήπως η παρακάτω κατασκευή είναι η εξήγηση που ζητάς;

#11

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 9:51 am
45.png Ευχαριστώ ! Μήπως μπορείτε να εξηγήσετε και την κατασκευή του παραπάνω σχήματος ;

Έστω

Τότε: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} A{Q^2} = (6 - x)(x + 2)\\ \\ \dfrac{{6 - x}}{6} = \dfrac{{AQ}}{{ST}} = \dfrac{{AQ}}{{2\sqrt 6 }} \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{x=1,2}$

Μεγάλες κατασκευές 45

Μεγάλες κατασκευές 45

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Μέλη σε σύνδεση