Ισότητα γωνιών δείχνει έγκεντρο

KARKAR · #1

: Ισότητα γωνιών δείχνει έγκεντρο.png (22.11 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Ο κόκκινος κύκλος εφάπτεται της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου , στο κέντρο του ,

.

Έστω

το ένα σημείο τομής κύκλου και ημικυκλίου και

ένα τυχαίο σημείο του κύκλου ,

εξωτερικό του ημικυκλίου . Ονομάζουμε P,Q

τα σημεία τομής του ημικυκλίου με τα τμήματα

αντίστοιχα . Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{OTS}$ τέμνει την

στο

και το ημικύκλιο στο

.

1) Δείξτε ότι : $\widehat{BOC}=\widehat{POQ}$ ... 2) Δείξτε ότι το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου OST

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 05, 2020 1:01 pm
Ισότητα γωνιών δείχνει έγκεντρο.pngΟ κόκκινος κύκλος εφάπτεται της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , στο κέντρο του , .

Έστω το ένα σημείο τομής κύκλου και ημικυκλίου και ένα τυχαίο σημείο του κύκλου ,

εξωτερικό του ημικυκλίου . Ονομάζουμε τα σημεία τομής του ημικυκλίου με τα τμήματα

αντίστοιχα . Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{OTS}$ τέμνει την στο και το ημικύκλιο στο .

1) Δείξτε ότι : $\widehat{BOC}=\widehat{POQ}$ ... 2) Δείξτε ότι το είναι το έγκεντρο του τριγώνου .

Α) Είναι $\angle POC=2x$ (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμένης) και $\angle QOB=2x$ (υπό χορδής-εφαπτομένης)

Άρα, $\angle POC= \angle QOB \Rightarrow \angle \theta = \angle \phi$ .

Β)Επιπλέον, $\angle S+ \theta = \angle TPO=2x= \angle \theta +y \Rightarrow \angle S= \angle y \Rightarrow ST//CO \Rightarrow \angle \varphi + \alpha =2x$

άρα $\angle y= \angle a$ και τα κόκκινα τόξα τόξα BZ,QC,TA

είναι ίσα ,συνεπώς το TQCA

είναι ισοσκελές τραπέζιο

Επομένως TE=EQ

κι επειδή

η

είναι μεσοκάθετη της

δηλαδή ,διχοτόμος της $\angle TOS$

και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: Ισότητα γωνιών δείχνει έκκεντρο.png (29.52 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

#3

α) Επειδή $\widehat {{\phi _{}}} + \widehat {{\xi _{}}} = 2\widehat \omega$ ( Υπό χορδής,

. κι εφαπτομένης στον κύκλο ) και

$\widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\xi _{}}} = 2\widehat \omega$ ( σχέση εγγεγραμμένης με αντίστοιχο επίκεντρη) θα έχω: $\boxed{\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}}$

: Ισότητα γωνιών δίχνει έγκεντρο_oritzin_1.png (47.87 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

β) Είναι προφανές ότι : $\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TP//OC$ . Στο ισοσκελές $\vartriangle OQA$ η

εξωτερική γωνία , $\widehat {BOQ} = 2\widehat {{\omega _3}} \Rightarrow \widehat {{\phi _{}}} + \widehat {{\xi _{}}} = 2\widehat {{\omega _3}} \Rightarrow 2\widehat {{\omega _{}}} = 2\widehat {{\omega _3}}$ και άρα τελικά :

$\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}} = \widehat {{\omega _4}}$ . μετά απ’ αυτά : $\vartriangle OET = \vartriangle OEQ$ ( έμμεσο κριτήριο)

Οπότε η

διχοτομεί την $\widehat {TOS}$ και έτσι το

είναι έγκεντρο του $\vartriangle TOS$

Ισότητα γωνιών δείχνει έγκεντρο

Ισότητα γωνιών δείχνει έγκεντρο

Re: Ισότητα γωνιών δείχνει έγκεντρο

Re: Ισότητα γωνιών δείχνει έγκεντρο

Μέλη σε σύνδεση