Τρίγωνο - οφθαλμαπάτη

KARKAR · #1

: Τρίγωνο οφθαλμαπάτη.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 1086 φορές

Στο επίπεδο σχεδιάσαμε τον κύκλο x^2+y^2=25

και τα σημεία T(-2,11) , P(-6,7) , S(7,-3)

.

Να εγγράψετε στον κύκλο τρίγωνο ABC

, ώστε η ευθεία

να διέρχεται από το

, η

από το

και η

από το

. "Κλέψτε" ιδέες από το σχήμα , αλλά μην τις χρησιμοποιήσετε ( φανερά ! ) στην λύση .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 23, 2020 12:25 pm
Τρίγωνο οφθαλμαπάτη.pngΣτο επίπεδο σχεδιάσαμε τον κύκλο και τα σημεία .

Να εγγράψετε στον κύκλο τρίγωνο , ώστε η ευθεία να διέρχεται από το , η από το

και η από το . "Κλέψτε" ιδέες από το σχήμα , αλλά μην τις χρησιμοποιήσετε ( φανερά ! ) στην λύση .

Έστω $\displaystyle B\left( { - b, - \sqrt {25 - {b^2}} } \right),C\left( {c, - \sqrt {25 - {c^2}} } \right),b,c > 0$ και

το σημείο τομής των TP, SC.

: Οφθαλμαπάτη.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

$\displaystyle {\lambda _{PT}} = 1,$ άρα η

έχει εξίσωση y=x+13

οπότε θα είναι N(n,n+13).

$\displaystyle {\lambda _{NS}} = {\lambda _{CS}} = {\lambda _{NC}} \Leftrightarrow \frac{{n + 16}}{{n - 7}} = \frac{{3 - \sqrt {25 - {c^2}} }}{{c - 7}} = \frac{{n + 13 + \sqrt {25 - {c^2}} }}{{n - c}}$

Από τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε ότι $\displaystyle N( - 16, - 3),B( - 4, - 3),C(4, - 3),$ άρα $\boxed{BC||x'x}$ Η κατασκευή είναι

απλή. Όσο για την απόδειξη, έχουμε ότι A(-3,4)

και εύκολα προκύπτει ότι τα σημεία B, A, T

όπως και τα C, A, P

είναι συνευθειακά.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Είναι $\displaystyle CA \bot PT$ και $\displaystyle \widehat C = 45^\circ$

ΥΓ. Μη με ρωτήσετε πώς έλυσα τις εξισώσεις

#3

Σταθερός είναι ο κύκλος και τα σημεία $S\,\,,\,\,P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ .

Πρώτο βήμα :

Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου από το

, την

( Το

στο 1ο τεταρτημόριο)

Επειδή $O{T^2} = {\left( { - 2} \right)^2} + {11^2} = 125\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O{D^2} = 25$ θα είναι TD = 10

: τρίγωνο οφθαλμαπάτη_1.png (29.51 KiB) Προβλήθηκε 991 φορές

Δεύτερο βήμα : η πολική του

έχει εξίσωση : $- 2x + 11y = 25 \Rightarrow \boxed{y = \frac{{2x + 25}}{{11}}}$ ,

Το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} y = \frac{{2x + 25}}{{11}} \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 25 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {x,y} \right) = \left( {4,3} \right) \hfill \\ \left( {x,y} \right) = \left( { - \frac{{24}}{5},\frac{7}{5}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Επιλέγω $D\left( {4,3} \right)$ με αντιδιαμετρικό L( - 4, - 3)

άρα η

είναι παράλληλη στον οριζόντιο άξονα και τέμνει τον κύκλο στο σημείο $M\left( {4, - 3} \right)$ .

Τρίτο βήμα :

Η

τέμνει τον κύκλο στο $K\left( { - 3,4} \right)$ και εύκολα διαπιστώνουμε ότι το $\vartriangle KLM$ είναι το $\vartriangle ABC$ που ζητάμε .

Από το άλλο εφαπτόμενο τμήμα δεν προκύπτει τρίγωνο με τις ιδιότητες που θέλουμε.

Προφανές ότι το

είναι το μέσο του

.

Στη γενική περίπτωση : Δείτε αυτό

Έχω ένα κύκλο και τρία σημεία.

Να κατασκευάσω εγγεγραμμένο στον κύκλο τρίγωνο, έτσι ώστε κάθε πλευρά του να διέρχεται από ένα των δοθέντων σημείων.( Castillion

)

Τρίγωνο - οφθαλμαπάτη

Τρίγωνο - οφθαλμαπάτη

Re: Τρίγωνο - οφθαλμαπάτη

Re: Τρίγωνο - οφθαλμαπάτη

Μέλη σε σύνδεση