Υπερδιπλάσιο

KARKAR · #1

: Υπερδιπλάσιο.png (73.27 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Στο εξωτερικό σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σχεδιάσαμε τρία ημικύκλια με διαμέτρους

τις πλευρές του , των οποίων τα μέσα ονομάσαμε M,N,L

. Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου

MNL

είναι υπερδιπλάσιο εκείνου του $\displaystyle ABC$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 04, 2019 2:24 pm
Υπερδιπλάσιο.pngΣτο εξωτερικό σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σχεδιάσαμε τρία ημικύκλια με διαμέτρους

τις πλευρές του , των οποίων τα μέσα ονομάσαμε . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου

είναι υπερδιπλάσιο εκείνου του $\displaystyle ABC$ .

Είναι, $\displaystyle AL = \frac{{b\sqrt 2 }}{2},AM = MB = \frac{{c\sqrt 2 }}{2},BN = NC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

: Υπερδιπλάσιο.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

Θεώρημα Πτολεμαίου στο ABNC:

$\displaystyle b\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + c\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = a \cdot NA \Leftrightarrow NA = \frac{{(b + c)\sqrt 2 }}{2}=ML$

$\displaystyle (MNL) = \frac{1}{2}ML \cdot NA = \frac{{N{A^2}}}{2} = \frac{{{{(b + c)}^2}}}{4} > bc \Rightarrow$ $\boxed{(MNL)> 2(ABC)}$ (*)

(*) Η ανισότητα είναι γνήσια επειδή το τρίγωνο είναι σκαληνό ( $b\ne c$ ).

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 04, 2019 2:24 pm
Υπερδιπλάσιο.pngΣτο εξωτερικό σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σχεδιάσαμε τρία ημικύκλια με διαμέτρους

τις πλευρές του , των οποίων τα μέσα ονομάσαμε . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου

είναι υπερδιπλάσιο εκείνου του $\displaystyle ABC$ .

Είναι $\angle NAC=45^0 \Rightarrow NA \bot LM \Rightarrow NA//CL//BM \Rightarrow \big(NLA\big)=(ACN) ,(NAM)=(NAB)$

Έτσι, (MNL)=(ABC)+(NBC)

άρα θα αποδείξουμε ισοδύναμα ότι $(NBC)>(ABC) \Rightarrow \dfrac{a^2}{4}> \dfrac{bc}{2} \Leftrightarrow b^2+c^2>2bc$

αληθής αφού $\triangle ABC$ σκαληνό

: Υπερδιπλάσιο.png (20.05 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό απόγευμα. Για το υπολογισμό του

χωρίς Πτολεμαίο.

: Υπερδιπλάσιο...PNG (8.93 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές

Με

τα τρίγωνα AEN,ACN

είναι ίσα οπότε NE=NC=NB

και $\widehat{ANE}=\widehat{NEB}-45^{0}=\widehat{NBE}-45^{0}=\widehat{ABC}$ .

Συνεπώς το BEHN

είναι εγγράψιμο και $AH\cdot AN=AE\cdot AB=bc$ .

Η διχοτόμος $AH=\dfrac{bc\sqrt{2}}{b+c}$ και έπεται $AN=\dfrac{\left ( b+c \right )\sqrt{2}}{2}$ . Τα λοιπά όπως ο Γιώργος πριν. Φιλικά, Γιώργος.

Υπερδιπλάσιο

Υπερδιπλάσιο

Re: Υπερδιπλάσιο

Re: Υπερδιπλάσιο

Re: Υπερδιπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση