Ομοκυκλικά σημεία (τα εργαλεία κάνουν τον μάστορα)

[giannimani]

Τα τρίγωνα και του παρακάτω σχήματος έχουν: , και .
Το σημείο είναι συμμετρικό του ως προς τη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος .
Να αποδείξετε ότι τα σημεία , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
[attachment=0]ομοκυκλ.png[/attachment]

[Nikitas K.]

Ομοκυκλικά σημεία (τα εργαλεία κάνουν τον μάστορα).png (93.15 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές

Θα δοκιμάσω αν δουλεύει αυτή η λύση... που δείχνω στο σχήμα.

[Dimessi]

Νικήτα κοίταξε το συνθετικά δεν έχει ιδιαίτερη δυσκολία .
Δε μπορώ να γράψω τώρα τα πληκτρολόγια μου μέσα τα καλώδια δε φορτώνει κι εύκολα κιολας το φόρουμ χαμός.
Τόσες μέρες δε μπορώ να γράψω στο φόρουμ σέρνεται .

[S.E.Louridas]

Έστω η τομή των μεσοκαθέτων του και () και έστω
οπότε τελικά παίρνουμε

[Nikitas K.]

Τα τρίγωνα και του παρακάτω σχήματος έχουν: , και .
Το σημείο είναι συμμετρικό του ως προς τη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος .
Να αποδείξετε ότι τα σημεία , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
ομοκυκλ.png

Σύνθεση-Ομοκυκλικά σημεία (τα εργαλεία κάνουν τον μάστορα).png (73.9 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές

Από το 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Π-Π) τα τρίγωνα και είναι ίσα. Άρα οι γωνίες και είναι ίσες.

Έστω το περίκεντρο του .

Από το 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Π-Π) τα τρίγωνα και είναι ίσα. Άρα οι γωνίες και είναι ίσες.

Από το 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Γ-Π) τα τρίγωνα και είναι ίσα. Άρα οι πλευρές και είναι ίσες.

Επομένως τα σημεία και είναι του ίδιου κύκλου.

[giannimani]

Εφόσον τα τρίγωνα και είναι ίσα και ομόρροπα [η φορά της κίνησης
στο κατά μήκος της περιμέτρου, από την κορυφή στην κορυφή και στη συνέχεια
στην κορυφή , συμπίπτει με τη φορά κίνησης κατά μήκος της περιμέτρου του τριγώνου
από την κορυφή (εικόνα της ) στην κορυφή (εικόνα της ) και στη συνέχεια
στην κορυφή (εικόνα της )], τότε υπάρχει ακριβώς μια επίπεδη μετατόπιση (στροφή ή
παράλληλη μεταφορά) με την οποία το ένα μετασχηματίζεται στο άλλο. Είναι φανερό ότι στην
περίπτωσή μας ο μετασχηματισμός είναι στροφή με κέντρο ένα σημείο .
Είναι επίσης γνωστό ότι το κέντρο της στροφής είναι το σημείο τομής των
μεσοκαθέτων των ευθυγράμμων τμημάτων που έχουν άκρα ομόλογα σημεία της στροφής.
Δηλαδή, τα ζεύγη των σημείων και αποτελείται το καθένα από το
πρότυπο και την εικόνα του με τη συγκεκριμμένη στροφή.
Επομένως, το κέντρο ανήκει στη μεσοκάθετο του .
Από αυτό προκύπτει ότι , δηλαδή, τα σημεία , , και
ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

ομοκυκλ_λυσ.png (39.86 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές