Προκύπτει εφαπτομένη...

giannimani · #1

Δίνονται το τρίγωνο ABC

και η διχοτόμος του $AD\,\;( D\in BC)$ . Τα σημεία

και

του κύκλου (ABC)

είναι τέτοια, ώστε $\angle BPD = \angle DQC = 90^{\circ}$ . Οι ευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία

εφάπτεται του κύκλου (ABC)

.

: tangent_to_circle.png (34.19 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

#2

giannimani έγραψε:Δίνονται το τρίγωνο και η διχοτόμος του $AD\,\;( D\in BC)$ . Τα σημεία και του κύκλου
είναι τέτοια, ώστε $\angle BPD = \angle DQC = 90^{\circ}$ . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο .
Να αποδείξετε ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου .

$\bullet$ Έστω το σημείο $S\equiv BP\cap CQ$ και ας είναι K, L,

τα σημεία επί των SB, SC

αντιστοίχως, ώστε να είναι $DK\parallel SC$ και $DL\parallel SB.$

Οι περίκυκλοι των ορθογωνίων τριγώνων $\vartriangle PBD, \vartriangle QCD,$ με διάμετρο τα τμήματα BD, CD

αντιστοίχως, έχουν την δια του σημείου

κάθετη ευθεία επί την

ως ριζικό τους άξονα ο οποίος περνάει προφανώς από το σημείο

ως το ριζικό κέντρο αυτών των κύκλων και του περικύκλου του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC.$

Σύμφωνα με γνωστό αποτέλεσμα (*) που έχουμε δει παλιότερα στο

, έχουμε ότι η ευθεία

πρνάει από το σημείο

Στο τρίγωνο $\vartriangle SBC$ τώρα, με διατέμνουσα την TKL,

σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε:

$\displaystyle \frac{TB}{TC}\cdot \frac{LC}{LS}\cdot \frac{KS}{KB}=1\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{TB}{TC}=\frac{LS}{LC}\cdot \frac{KB}{KS}}\ \ ,(1)$

Από $DK\parallel SC\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{KB}{KS}=\frac{DB}{DC}}\ \ ,(2)$ και από $DL\parallel SB\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{LS}{LC}=\frac{DB}{DC}}\ \ ,(3)$

: Προκύπτει εφαπτομένη.; f=178 t=78924.PNG (25 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές

$\bullet$ Από $(1), (2), (3)\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{TB}{TC}=\frac{(DB)^{2}}{(DC)^{2}}}\ \ ,(4)$

Αλλά, λόγω της διχοτόμου

της γωνίας $\angle A$ έχουμε $\boxed{\displaystyle \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}}\ \ ,(5)$

Από $(4), (5)\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{TB}{TC}=\frac{(AB)^{2}}{(AC)^{2}}}\ \ ,(6)$

Από (6)

συμπεραίνεται ότι η ευθεία

ταυτίζεται με την εφαπτομένη του περίκυκλου (O)

του $\vartriangle ABC$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

(*) Δείτε Εδώ.

Κώστας Βήττας.

#3

giannimani έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 21, 2026 1:18 pm
Δίνονται το τρίγωνο και η διχοτόμος του $AD\,\;( D\in BC)$ . Τα σημεία και του κύκλου
είναι τέτοια, ώστε $\angle BPD = \angle DQC = 90^{\circ}$ . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο .
Να αποδείξετε ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου .
tangent_to_circle.png

Οι

τέμνονται στο

Προφανώς το PDSQ

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

κι επειδή οι

κόκκινες γωνίες είναι ίσες, θα είναι $B\widehat DS=90^\circ.$ Άρα η

εφάπτεται σ' αυτό τον τον κύκλο.

: Προκύπτει εφαπτομένη.png (22.52 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές

$\displaystyle T{D^2} = TP \cdot TQ = TB \cdot TC \Leftrightarrow (TB + BD)(TC - DC) = TB \cdot TC \Leftrightarrow$

$\displaystyle BD \cdot TC - TB \cdot DC - BD \cdot DC = 0 \Leftrightarrow \frac{{ac}}{{b + c}}TC - \frac{{ab}}{{b + c}}TB = \frac{{{a^2}bc}}{{{{(b + c)}^2}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle (b + c)(cTC - bTB) = abc\mathop \Leftrightarrow \limits^{TC - TB = a}$ $\boxed{ \frac{{TB}}{{TC}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}}$ και το ζητούμενο έπεται.

#4

Στον δρόμο που χάραξε ο Γιώργος (#2), η λύση που έδωσα πιο πάνω (#1) στέλνεται στα αζήτητα.

Από $(TD)^{2}=(TP)(TQ)=(TB)(TC)\ \ ,(1)$ συμπεραίνεται ότι η ευθεία

ταυτίζεται με την εφαπτομένη του κύκλου (O)

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κώστας Βήττας.

giannimani · #5

Στο ίδιο πνεύμα με τη λύση του Γιώργου και η δική μου.

: tangent_to_circle1.png (40 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές

Έστω $S=(BP)\cap (CQ)$ . Τότε προφανώς, το το DPSQ

είναι εγγράψιμο, και εφόσον $\angle BDP=\angle DQP$
(ως συμπληρωματικές των ίσων γωνιών DBP

και

αντίστοιχα, από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BPQC

),
η

εφάπτεται του κύκλου (DPSQ)

. Επομένως, $TD^2=TP\cdot TQ$ . Επίσης, $TB \cdot TC =TP \cdot TQ$ .
Από τις δύο τελευταίες έχουμε ότι $TD^2=TB \cdot TC \quad (1)$ .
Αν

το ίχνος της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας

του τριγώνου ABC

, τότε

,
και αν

το μέσο του

, τότε $MD^2=MB \cdot MC\quad (2)$ .
Από (1)

και

εύκολα προκύπτει ότι τα σημεία

και

της ευθείας

συμπίπτουν, δηλαδή, το

είναι το μέσο του

. Από το ορθογώνιο τρίγωνο DAE

, εφόσον η

διάμεσος στην υποτείνουσα,
TA=TD

. Επομένως, $TA^2=TB\cdot TC$ , και έχουμε το ζητούμενο.

Προκύπτει εφαπτομένη...

Προκύπτει εφαπτομένη...

Re: Προκύπτει εφαπτομένη...

Re: Προκύπτει εφαπτομένη...

Re: Προκύπτει εφαπτομένη...

Re: Προκύπτει εφαπτομένη...

Μέλη σε σύνδεση