Μεγιστοποίηση για αργόσχολους

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση για αργόσχολους.png (22.74 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Κύκλος

εφάπτεται του τμήματος AB=6

, στο μέσο του

και τέμνει τα ημικύκλια διαμέτρων AM , MB

στα

αντίστοιχα , ενώ το

τα ξανατέμνει στα S , T

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου OST

.

#2

Μέγιστο εμβαδόν (OST)

ίσο προς

Γενικώτερσ, αν MA=MB=2r

αντί

τότε $max(OST)=\dfrac{r^2}{2},$ το οποίο επιτυγχάνεται για $R=OM=(1+\sqrt{2})r:$

Με σταθερή ακτίνα ημικυκλίων

και μεταβλητή ακτίνα μεγάλου κύκλου

λοιπόν, υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των P, Q, S, T

ως

$P=\left(-\dfrac{2rR^2}{R^2+r^2}, \dfrac{2r^2R}{R^2+r^2}\right),$ $Q=\left(\dfrac{2rR^2}{R^2+r^2}, \dfrac{2r^2R}{R^2+r^2}\right),$

και

$S=\left(-\dfrac{2r^3}{R^2+r^2}, \dfrac{2r^2R}{R^2+r^2}\right),$ $T=\left(\dfrac{2r^3}{R^2+r^2}, \dfrac{2r^2R}{R^2+r^2}\right),$

οπότε

$(OST)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4r^3}{R^2+r^2}\cdot \left(R-\dfrac{2r^2R}{R^2+r^2}\right)=\dfrac{2r^3R(R^2-r^2)}{(R^2+r^2)^2},$

και από την ως προς

παράγωγο και τον μηδενισμό της, R^4-6r^2R^2+r^4=0,

καθώς και την R>r,

προκύπτει μεγιστοποίηση για $R=\sqrt{3+2\sqrt{2}}r=(1+\sqrt{2})r$ και $max(OST)=\dfrac{r^2}{2}.$

[Οι συντεταγμένες των P, Q

προκύπτουν από επίλυση του συστήματος x^2+(y-R)^2=R^2

& $(x\pm r)^2+y^2=r^2,$ ενώ οι τετμημένες των S, T

προκύπτουν θέτοντας $y=\dfrac{2r^2R}{R^2+r^2}$ στην $(x\pm r)^2+y^2=r^2.$ ]

#3

Γεωμετρική εύρεση της ακτίνας

του μεγάλου κύκλου για μέγιστο εμβαδόν (OST)

... με βάση τα παραπάνω:

: R--max(OST).png (43.02 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

Μεγιστοποίηση για αργόσχολους

Μεγιστοποίηση για αργόσχολους

Re: Μεγιστοποίηση για αργόσχολους

Re: Μεγιστοποίηση για αργόσχολους

Μέλη σε σύνδεση