Μεσανατολικό

KARKAR · #1

: Μεσανατολικό.png (19.23 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές

Οι ακτίνες

και

ενός κύκλου (O)

είναι κάθετες . Στην εφαπτομένη του κύκλου στο

θεωρούμε σημείο

, φέρουμε την

- η οποία τέμνει τον κύκλο στο

- και ονομάζουμε

το μέσο της χορδής

. Πώς πρέπει να επιλέξουμε το

, ώστε η

να διέλθει από το

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 12, 2025 8:43 am
Μεσανατολικό.pngΟι ακτίνες και ενός κύκλου είναι κάθετες . Στην εφαπτομένη του κύκλου στο

θεωρούμε σημείο , φέρουμε την - η οποία τέμνει τον κύκλο στο - και ονομάζουμε

το μέσο της χορδής . Πώς πρέπει να επιλέξουμε το , ώστε η να διέλθει από το ;

.
Με Αναλυτική, που είναι τυφλοσούρτης:

Χωρίς βλάβη η ακτίνα του κύκλου είναι

. Έχουμε

και

, όπου

το ζητούμενο.

Η

είναι η $y=-\dfrac {x}{a}$ , οπότε το

είναι η τομή αυτής και του κύκλου x^2+y^2=1

. Βγαίνει $\displaystyle{P\left ( \dfrac {a}{\sqrt {a^2+1}}, \, -\dfrac {1}{\sqrt {a^2+1}}\right )}$ (άμεσο).

Άρα το μέσον

της

είναι το $\displaystyle{M\left ( \dfrac {a}{2\sqrt {a^2+1}}, \, -\dfrac {1}{2} \left (1-\dfrac {1}{\sqrt {a^2+1}}\right )\right )}$ .

Αυτό θέλουμε να βρίσκεται στην ευθεία

, δηλαδή την $y=-\dfrac {1}{a+1}(x-1)$ . Θέτοντας τις συντεταγμένες του

στην τελευταία μας ανάγει στην εξίσωση $(a-1)\sqrt {a^2+1}=1$ , και άρα στην

$\boxed {a^3-2a^2+2a-2=0} }$

την οποία λύνουμε κατά τα γνωστά. Η παράσταση είναι μεγάλη για να την γράψω, αλλά με λογισμικό βγαίνει $\boxed {a\approx 1,543689012}$

Θα με ενδιέφερε να έβλεπα μία κατασκευή με κανόνα και διαβήτη (αλλιώς δεν ξέρω τι νόημα έχει η άσκηση) αλλά από ότι φαίνεται από την εξίσωση, το

δεν κατασκευάζεται. Ίσως κάνω λάθος, αλλά το Θεώρημα Wantzel δίνει αμέσως την απάντηση (δεν το ελέγχω).

Dimessi · #3

: Με Cardano η εξίσωση αλλά δεν κατασκευάζεται.png (34.37 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

Φέρουμε τη διχοτόμο

του $\vartriangle OSN.$ Επειδή ON=OP,

άρα $OQ \parallel NP.$ Όμως NM=MP,

άρα από το θεώρημα κεντρικής δέσμης το $X \equiv SM \cap OQ$ είναι το μέσο του OQ.

Επειδή $SN \parallel OE \left (\perp ON \right),$ έπεται $SQ \parallel =OE.$ Θέτοντας τώρα $\angle SON=\theta,$ είναι $\displaystyle \frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\cos \frac{\theta }{2}}=\cos \theta \Rightarrow \cos \theta \sin \theta =1-\cos\theta \left ( \sin \theta \overset{\theta \in \left ( 0,\pi /2 \right )}=\sqrt{1-\cos^{2}\theta } \right ).$
$\displaystyle \frac{\left ( 1-\cos \theta \right )^{2}}{\cos^{2}\theta }+\cos^{2}\theta =1\Leftrightarrow 1-2\cos\theta +\cos^{4}\theta =0\Leftrightarrow \left ( \cos^{3}\theta-1 \right )\cos \theta -\left ( \cos\theta -1 \right )=0\Leftrightarrow$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left ( \cos \theta -1 \right )\left ( \cos^{3}\theta +\cos^{2}\theta +\cos\theta -1 \right )=0\overset{\cos \theta\neq 1 }\Leftrightarrow \cos^{3}\theta +\cos^{2}\theta +\cos\theta -1=0.$
Από τον τύπο του Cardano βρίσκουμε $\displaystyle \boxed{\cos \theta= \sqrt[3]{\frac{17}{27}+\sqrt{\frac{11}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{17}{27}-\sqrt{\frac{11}{27}}}-\frac{1}{3}}.$
Όπως λέει κι ο κύριος Λάμπρου δεν είναι τόσο όμορφη εξίσωση

: Με Cardano η εξίσωση αλλά δεν κατασκευάζεται.png (34.37 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

Μεσανατολικό

Μεσανατολικό

Re: Μεσανατολικό

Re: Μεσανατολικό

Μέλη σε σύνδεση