Σταθερό γινόμενο

KARKAR · #1

: Σταθερό γινόμενο.png (9.38 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

Στις προεκτάσεις των πλευρών CB , CD

του ρόμβου ABCD

θεωρούμε σημεία S , T

αντίστοιχα,

τέτοια ώστε τα S , A , T

να είναι συνευθειακά . Δείξτε ότι το γινόμενο : $BS \cdot DT$ είναι σταθερό .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 31, 2025 8:05 pm
Σταθερό γινόμενο.pngΣτις προεκτάσεις των πλευρών του ρόμβου θεωρούμε σημεία αντίστοιχα,

τέτοια ώστε τα να είναι συνευθειακά . Δείξτε ότι το γινόμενο : $BS \cdot DT$ είναι σταθερό .

: stath gin.png (13.33 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

Tα τρίγωνα SBA, ADT

είναι όμοια γιατί έχουν παράλληλες πλευρές. Άρα $\dfrac {BS}{BA}= \dfrac {AD}{DT}$ , οπότε

$BS \cdot DT= BA \cdot AD=a^2$ (σταθερό), όπου

η πλευρά του ρόμβου.

KARKAR · #3

Δείξτε επίσης ότι και το πηλίκο : $\dfrac{CS\cdot CT}{CS+CT}$ , είναι σταθερό .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 31, 2025 10:17 pm
Δείξτε επίσης ότι και το πηλίκο : $\dfrac{CS\cdot CT}{CS+CT}$ , είναι σταθερό .

Είναι ισοδύναμο με το προηγούμενο όπου είδαμε xy=a^2

. Τώρα έχουμε CS=x+CB=x+a

και

. Άρα

$\dfrac{CS\cdot CT}{CS+CT} = \dfrac{(x+a)(y+a)}{(x+a)+(y+a)} = \dfrac{xy +xa+ya+a^2}{x+y+2a} = \dfrac{a^2 +xa+ya+a^2}{x+y+2a} =a$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 31, 2025 8:05 pm
Σταθερό γινόμενο.pngΣτις προεκτάσεις των πλευρών του ρόμβου θεωρούμε σημεία αντίστοιχα,

τέτοια ώστε τα να είναι συνευθειακά . Δείξτε ότι το γινόμενο : $BS \cdot DT$ είναι σταθερό .

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την

στο

.Τότε

είναι παραλ/μμο,άρα BE=TD=y

Είναι $AS//CE\Rightarrow (BSE)=(BAC)$ άρα $1=\dfrac{(SBE)}{(BAC)} = \dfrac{xy}{a^2} \Rightarrow xy=a^2$

Έχουμε $\dfrac{a}{CS}= \dfrac{TA}{ST}$ και $\dfrac{a}{CT}= \dfrac{AS}{ST}$ και με πρόσθεση $\dfrac{a}{CS}+ \dfrac{a}{CT}=1 \Rightarrow \dfrac{CT.CS}{CT+CS}=a$

: Σταθερό γινόμενο.png (37.49 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 31, 2025 8:05 pm
Σταθερό γινόμενο.pngΣτις προεκτάσεις των πλευρών του ρόμβου θεωρούμε σημεία αντίστοιχα,

τέτοια ώστε τα να είναι συνευθειακά . Δείξτε ότι το γινόμενο : $BS \cdot DT$ είναι σταθερό .

Εστω ότι $SB//AD//T\Theta \Rightarrow TD=T\Theta =y$ $SB//AD\Rightarrow \dfrac{BD}{MB}=\dfrac{a-x}{x},(1),\dfrac{y}{a}=\dfrac{D\Theta }{BD},(2), (1),(2) \Rightarrow \dfrac{D\Theta }{MB}=\dfrac{y(a-x)}{ax},(3), SB//T\Theta \dfrac{a-x}{x}+\dfrac{y(a-x)}{ax} =\dfrac{y}{x}-1\Leftrightarrow xy=a^{2}, \dfrac{CS.CT}{CS+CT} =\dfrac{2a^{2}+ax+ay}{2a+x+y}=a$

Σταθερό γινόμενο

Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση