Αμβλυγώνιος τομέας

KARKAR · #1

: Αμβλυγώνιος τομέας.png (15.6 KiB) Προβλήθηκε 813 φορές

Σχεδιάστε αμβλυγώνιο τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας

, τέτοιον ώστε αν P,T

οι προβολές τυχόντος

σημείο

του τόξου του στις ακτίνες OA , OB

, αντίστοιχα , το τμήμα

να έχει μήκος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 18, 2025 5:04 pm
Σχεδιάστε αμβλυγώνιο τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας , τέτοιον ώστε αν οι προβολές τυχόντος

σημείο του τόξου του στις ακτίνες , αντίστοιχα , το τμήμα να έχει μήκος .

: amvligonio.png (18.86 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

.
Πρώτα ας αποδείξουμε κάτι που έχει από μόνο του ανεξάρτητο ενδιαφέρον: Έστω οποιοσδήποτε τομέας (O,AB)

με σταθερό άνοιγμα $\omega$ και σταθερή ακτίνα

. Από τυχαίο σημείο

του τόξου του φέρνουμε τις προβολές P,T

στις ακτίνες. Τότε το μήκος

είναι σταθερό, ανεξάρτητο από την θέση του

.

Πράγματι, από τον Νόμο των ημιτόνων στο OPT

ως εγγεγραμμένου στον κύκλο OPTS

διαμέτρου

έχουμε

$\dfrac {PT} {\sin \omega} = OS=R$

Άρα $\boxed {PT= R\sin \omega}$ (σταθερό).

Πίσω στην άσκηση, θέλουμε $5=6 \sin \omega$ , δηλαδή $\sin \omega = \dfrac {5}{6}$ από όπου η ζητούμενη (αμβλεία) γωνία, εδώ $\approx 123,56^o$

(Σχόλιο: Άλλη απόδειξη του παραπάνω:

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγράψιμο OPST

έχουμε

$PT\cdot R= PT \cdot OS= OP\cdot TS+ OT\cdot PS= R\cos \phi \cdot R \sin \theta+R\cos \theta \cdot R \sin \phi =$

$= R^2\sin (\theta +\phi)=R^2\sin \omega$ από όπου $PT = R \sin \omega$

Εννοείται, η δεύτερη απόδειξη του παραπάνω, περιττεύει ως δυσκολότερη. Όμως την παραθέτω μήπως δώσει άλλη απόδειξη του Θεωρήματος του Πτολεμαίου. Αναζητώ τέτοια απόδειξη, ιδίως για την περίπτωση όπου η μία διαγώνιος του εγγράψιμου είναι διάμετρος, διότι προσπαθώ να απλοποιήσω την απόδειξη που έχει ο ίδιος ο Πτολεμαίος στην Μεγίστη Σύνταξή του. Και αυτό γιατί προσπαθώ να συνδέσω τα αποτελέσματα του Πτολεμαίου με κάποια του Αρχιμήδη, στο Περί Λημμάτων του.)

Αμβλυγώνιος τομέας

Αμβλυγώνιος τομέας

Re: Αμβλυγώνιος τομέας

Μέλη σε σύνδεση