Που είναι το τέσσερα ;

KARKAR · #1

: Αναλογία και τόπος.png (30.94 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Στο τετράπλευρο ABCD

οι διαγώνιοι τέμνονται στο

και είναι : OA=5 , OB=6 , OC=3 , OD=2

.

Αν οι AD , BC

τέμνονται στο σημείο

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SC}{CB}$ . Αν επιπλέον τα A, C

, είναι σταθερά

ενώ τα B, D

, κινούνται , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 02, 2025 9:52 am
Αναλογία και τόπος.pngΣτο τετράπλευρο οι διαγώνιοι τέμνονται στο και είναι : .

Αν οι τέμνονται στο σημείο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SC}{CB}$ . Αν επιπλέον τα , είναι σταθερά

ενώ τα , κινούνται , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου .

.
To κάνω με Αναλυτική Γεωμετρία γιατί είναι απλό (τυφλοσούρτης) αλλά υπάρχουν και ωραίες καθαρά γεωμετρικές λύσεις:

Με αρχή των αξόνων το

του σχήματος και με άξονα των

την

(δηλαδή τα A,C

είναι σταθερά, που βολεύει για το δεύτερο μέρος της άσκησης) είναι A(-5,0), C(3,0), D(a,b), B(-3a,-3b)

για

με

.

Οι ευθείες AD, BC

είναι οι $y=\dfrac {b}{a+5}(x+5), \, y=\dfrac {b}{a+1}(x-3)$ . Λύνοντας το σύστημα ως προς x,y

θα βρούμε ότι το κοινό σημείο

των ευθειών είναι το S(2a+5, 2b)

.

Για την εξίσωση του

είναι

, άρα

, δηλαδή μέρος κύκλου κέντρου (5,0)

και ακτίνας

.

Επίσης

$\dfrac{SC}{CB} = \dfrac{\sqrt {(2a+2)^2+(2b)^2}}{\sqrt {(3a+3)^2+(3b)^2}} = \dfrac {2}{3} \cdot \dfrac{\sqrt {(a+1)^2+b^2}}{\sqrt {(a+1)^2+b^2}}= \dfrac {2}{3}$

Σχόλιο: Τα παραπάνω δίνουν ως δώρο την AD=DS

.

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 02, 2025 9:52 am
Αναλογία και τόπος.pngΣτο τετράπλευρο οι διαγώνιοι τέμνονται στο και είναι : .

Αν οι τέμνονται στο σημείο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SC}{CB}$ . Αν επιπλέον τα , είναι σταθερά

ενώ τα , κινούνται , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου .

Για το πρώτο ερώτημα

Στο τρίγωνο BDS

με τέμνουσα COA

από Μενέλαο $\dfrac{DS}{AD}=\dfrac{3CS-BC}{BC},(1)$

Ομοίως στο τρίγωνο ACS

με διατέμνουσα

$DOB, \dfrac{AD}{SD}=\dfrac{5BC}{3(BC+CS)},(2), (1) ,(2)\Rightarrow \dfrac{CS}{BC}=\dfrac{2}{3}$

Για το δευτερο ερώτημα

Προσπάθεια δημιουργίας ομοιων τριγώνων με χρησιμοποιήσει του λόγου απο το πρώτο ερώτημα

Παίρνω CL=2

και τα τρίγωνα CLS,OBC

ε'ιναι όμοια με $\dfrac{CS}{BC}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{CL}{OC}\Rightarrow \dfrac{OB}{LS}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow LS=4,L(5,0) ,M(1,0),P(9,0)C(3,0)$ ,

Ακόμη SL//BD,AD=DS

Αρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου

είναι ο κύκλος L(5,0),R=4

με κάποιους περιορισμούς ,Απο τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο

CSL,S(x,y),x<9

και αποκλεισμό των σημείων M,P

Πιθανόν να χρειάζονται κάποιες λεπτομέρειες

Που είναι το τέσσερα ;

Που είναι το τέσσερα ;

Re: Που είναι το τέσσερα ;

Re: Που είναι το τέσσερα ;

Μέλη σε σύνδεση