Στον ίσιο δρόμο

[KARKAR]

Στον ίσιο δρόμο.png (24.4 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές

Στις πλευρές , μιας ορθής γωνίας βρίσκονται σημεία αντίστοιχα . Στο εντός της γωνίας ημικύκλιο

διαμέτρου θεωρούμε τυχόν σημείο και στην τυχόν σημείο . Ο κύκλος τέμνει την

στο , ενώ ο κύκλος τέμνει την στο . Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Στον ίσιο δρόμο.pngΣτις πλευρές , μιας ορθής γωνίας βρίσκονται σημεία αντίστοιχα . Στο εντός της γωνίας ημικύκλιο

διαμέτρου θεωρούμε τυχόν σημείο και στην τυχόν σημείο . Ο κύκλος τέμνει την

στο , ενώ ο κύκλος τέμνει την στο . Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .

Λόγω των εγγράψιμμων οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και το ζητούμενο είναι πλέον προφανές

Στον ίσιο δρόμο.png (26 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές

[Doloros]

Στον ίσιο δρόμο.pngΣτις πλευρές , μιας ορθής γωνίας βρίσκονται σημεία αντίστοιχα . Στο εντός της γωνίας ημικύκλιο

διαμέτρου θεωρούμε τυχόν σημείο και στην τυχόν σημείο . Ο κύκλος τέμνει την

στο , ενώ ο κύκλος τέμνει την στο . Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .

Αγνοώ προσωρινά το τμήμα .

Στον ίσιο δρόμο.png (54.75 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές

Προφανές ότι : . ( κάθε μια είναι εξωτερική εγγεγραμμένου τετραπλεύρου) Άρα και το τετράπλευρο

είναι εγγράψιμο κι επειδή στο η γωνία είναι ορθή θα είναι και η οπότε η είναι διάμετρος .

[Mihalis_Lambrou]

Στις πλευρές , μιας ορθής γωνίας βρίσκονται σημεία αντίστοιχα . Στο εντός της γωνίας ημικύκλιο

διαμέτρου θεωρούμε τυχόν σημείο και στην τυχόν σημείο . Ο κύκλος τέμνει την

στο , ενώ ο κύκλος τέμνει την στο . Δείξτε ότι τα σημεία , είναι συνευθειακά .

Αλλαγή οπτικής και μικρή γενίκευση: Η μικρή γενίκευση είναι στο ότι μπορούμε να πάρουμε το να είναι οποιοδήπτε εγγράψιμο, όχι κατ΄ανάγκη με δύο απένατι γωνίες ορθές. Οι προηγούμενες λύσεις διευθετούν και την εν λόγω γενίκευση.

Αρχίζουμε λοιπόν με οποιοδήποτε εγγράψιμο και σημείο της διαγωνίου του. Να δείξουμε ότι το και οι τομές των κύκλων με δύο πλευρές του εγγράψιμμου είναι συνευθειακά σημεία. Πώς θα το δείξουμε; Μα είναι η ευθεία Simson του τριγώνου όπου από το φέρνουμε ισοκλινείς (οι τριες ίσες κόκκινες γωνίες ) στο τρίγωνο.
.