Αναπάντεχη παραλληλία

KARKAR · #1

: Αναπάντεχη παραλληλία.png (22.8 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

Από σημείο

εκτός κύκλου (O)

, φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα

, του οποίου το μέσο ονομάσαμε

.

Πάνω στην κάθετη από το

προς την

, θεωρούμε σημείο

. Η

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

.

Η

ξανατέμνει τον κύκλο στο σημείο

. Δείξτε ότι : $TB \parallel SP$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 10:16 am
Αναπάντεχη παραλληλία.pngΑπό σημείο εκτός κύκλου , φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα , του οποίου το μέσο ονομάσαμε .

Πάνω στην κάθετη από το προς την , θεωρούμε σημείο . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

Η ξανατέμνει τον κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι : $TB \parallel SP$ .

: Αναπάντεχη παραλληλία Karakar.png (22.14 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

.
Η πολική του

είναι η

συνεπώς η τετράδα $\left( {B,A\backslash J,S} \right)$ είναι αρμονική και άρα η δέσμη :

$T\left( {B,A\backslash J,S} \right)$ είναι αρμονική και αφού η MP//TJ

θα τέμνει τις άλλες ακτίνες της δέσμης στα σημεία :

E,M,P

με

συνεπώς το τετράπλευρο TESP

είναι παραλληλόγραμμο . Τελειώσαμε.

giannimani · #3

Η ευθεία

είναι ο ριζικός άξονας του κύκλου (O)

και του σημείου

. Επομένως,
$PS^2=PA \cdot PT \implies \dfrac{PS}{PA}=\dfrac{PT}{PS}\implies \triangle PAS \sim \triangle PST\implies \angle PSA=\angle PTS=\angle TBA =\angle TBS \implies BT \parallel PS$ .

: rad_crcl_point.png (47.93 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

Dimessi · #4

Από δύναμη σημείου $\displaystyle PA\cdot PT=PO^{2}-R^{2}=OM^{2}-SM^{2}+PS^{2}-R^{2}$ με την τελευταία από συνθήκη καθετότητας
επειδή Μ μέσο του ΤS και $\displaystyle \overrightarrow{OT}\cdot \overrightarrow{TS}=0$ γιατί ST εφαπτόμενο τμήμα στον (Ο)
γίνεται $\displaystyle PA\cdot PT=PS^{2}$ που εξασφαλίζει ότι PS εφαπτόμενο τμήμα στον κύκλο (ΑΤS) οπότε $\displaystyle \angle PSA=\angle STA$
Επειδή ST εφαπτόμενο τμήμα στον (Ο) οι παραπάνω γωνίες είναι όσο η $\displaystyle \angle TBA$ .

#5

Dimessi έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 5:52 pm

Από δύναμη σημείου $\displaystyle PA\cdot PT=PO^{2}-R^{2}=OM^{2}-SM^{2}+PS^{2}-R^{2}$ με την τελευταία από συνθήκη καθετότητας

επειδή μέσο του και $\displaystyle \overrightarrow{OT}\cdot \overrightarrow{TS}=0$ γιατί εφαπτόμενο τμήμα στον

Λύση Dimessi.png (22.54 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές

γίνεται $\displaystyle PA\cdot PT=PS^{2}$ που εξασφαλίζει ότι εφαπτόμενο τμήμα στον κύκλο οπότε $\displaystyle \angle PSA=\angle STA$

Επειδή ST εφαπτόμενο τμήμα στον (Ο) οι παραπάνω γωνίες είναι όσο η $\displaystyle \angle TBA$ .

#6

giannimani έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 12:18 pm
Η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας του κύκλου και του σημείου . Επομένως,
$PS^2=PA \cdot PT \implies \dfrac{PS}{PA}=\dfrac{PT}{PS}\implies \triangle PAS \sim \triangle PST\implies \angle PSA=\angle PTS=\angle TBA =\angle TBS \implies BT \parallel PS$ .
rad_crcl_point.png

Ο ορισμός του ριζικού άξονα μεταξύ κύκλου και σημείου , του σημείου θεωρουμένου ως κύκλος μηδενικής ακτίνας , καθ όλα σωστός , μας "λύνει τα χέρια" και σε πολλές άλλες ασκήσεις.

Ευχαριστούμε πολύ Γιάννη και για την παραπάνω παραδοχή και για την άψογη λύση σου

Αν και ο Θανάσης κατασκεύασε με αυτό το σκεπτικό την ωραία αυτή άσκηση έχει τα εύσημο μου

KARKAR · #7

Η άσκηση αξιοποιεί την ιδέα του προβλήματος 374

(σελ.

) , του τρομερού βιβλίου Γεωμετρίας

των Γεωργακάκη Μανώλη και Πολύδωρου εδώ .

Ευκαιρία να ευχαριστήσουμε ακόμα μια φορά τον Τάκη Χρονόπουλο για την απίστευτη δουλειά του

Αναπάντεχη παραλληλία

Αναπάντεχη παραλληλία

Re: Αναπάντεχη παραλληλία

Re: Αναπάντεχη παραλληλία

Re: Αναπάντεχη παραλληλία

Re: Αναπάντεχη παραλληλία

Re: Αναπάντεχη παραλληλία

Re: Αναπάντεχη παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση